数值分析实验6..docVIP

实验6.1（Lorenz问题与混沌） 问题提出：考虑著名的Lorenz方程 其中s,r,b为变化区域有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。 实验要求： （1）请读者找出Lorenz方程与上述程序中使用的方程间的关系。 （2）对目前取定的参数值SIGMA、RHO和BETA，选取不同的初始值y0（当前程序中的y0是在坐标原点），运行上述的程序，观察计算的结果有什么特点？解的曲线是否有界？解的曲线是不是周期的或趋于某个固定的点？ （3）在问题允许的范围内适当改变其中的参数值SIGMA、RHO和BETA，再选取不同的初始值y0，运行上述的程序，观察并记录计算的结果有什么特点？是否发现什么不同的现象。 程序清单： 主程序： %BLZ Plot the orbit around the Lorenz chaotic attractor clf clc %Solve the ordinary differential equation describing the %Lorenz chaotic attractor.The equation are difined in %an M-file,blzeq.m %The value of the global parameters are global SIGMA RHO BETA SIGMA=10.; RHO=10.; BETA=20.; %The graphics axis limits are set to values known to %contain the solution. axis([0 50 -30 30 -30 30]) view(3) hold on title(Lorenz Attractor) y0=[0 0 eps]; tfinal=100; [t,y]=ode23(blzeq,[0 tfinal],y0); plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3)) blzeq函数程序 %BLZEQ Equation of the Lorenz chaotic attractor %ydot=lorenzeq(t,y) %The differential equation is written in almost linear form. function ydot=blzeq(t,y); global SIGMA RHO BETA A=[-BETA 0 y(2) 0 -SIGMA SIGMA -y(2) RHO -1]; ydot=A*y; 实验结果及其分析： 题中的方程与程序中的方程的关系是变量进行了轮换，x换成了y，y换成了z，z换成了x。 原点为原方程的一个奇点，当初始位置稍稍偏离原点如取为[0，eps，0，]（按原方程中的顺序，下同）得到的图像如下： 分析：这是一个典型的奇怪吸引子的图像，曲线有界，但他不收敛于某一点也不是周期的，而是在两个位置附近来回的跳跃。 取初始位置分别为[10，10，10]，[50，50，50]得到的图像如下： 分析：个初始变量值相同时，曲线总是被吸引回奇怪吸引子附近作来回跳跃，在初始变量值取道[200，200，200]，[-200，-200，-200]时，依然如此。 下面分别考察初始值的每个分量变化对图像的影响： y分量： [0，3，0] [0，7，0] [0，7.69516，0] [0，7.69517，0] [0，14.23，0] [0，14.24，0] 分析：从上面可以看见，随着初始x值的增大，奇怪吸引子中曲线在其附近来回跳跃的两个位置中的一个吸引力变弱，另一个吸引力变强，然后在初始x取某一特定值时，一个位置丧失吸引力，另一位置则将曲线完全吸引过来变成普通吸引子。初始x继续增大到某一特定值，情况又会变回来。对初始x值单独变化的情况也有类似的现象。这所明在空间存在一些区域，当初始位置位于这些区域外时解将出现奇怪吸引子的性质，而在这些区域以内解将呈现普通吸引子的性质。 Z分量：[0，0，20] 分析：从图上可以看出解的曲线为一直线，这可以从方程的角度来解释。当x=0,y=0时在方程中dx/dt=0,dy/dt=0，x，y 方向的值不发生变化，仅z方向的值变化，因此解为一直线。 当SIGMA=10，RHO=20，BETA=10，初始值取[0，eps，0]时，图像如下： 对初值进行调整没有发现奇