控制中的矩阵理论习题2012..doc

练习一： 设A、是Hermite矩阵，证明：AB是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA。 设，若，则A为反Hermite矩阵。试证明：任意一个都可以唯一地表示为一个Hermitet矩阵与一个反Hermite矩阵的和。 证明反Hermite矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。 设是Hermite矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的实数；又设是反Hermite矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。 试求一酉矩阵P，使为对角矩阵，这里 A=； （2）A=。 6. 设是Hermite矩阵。证明A是Hernite正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite正定矩阵B，使得。 7．设是Hermite矩阵,则下列条件等价： （1）A是Hernite半正定矩阵； （2）A的特征值全为非负实数； （3）存在矩阵，使得。 练习二： 用初等变换化下列多项式矩阵为Smith标准形： （1） ； （2）； （3） ；（4）。 求下多项式矩阵的不变因子： （1）；（2）； （3）。 证明：对任何多项式矩阵，恒有 其中、、表示多项式矩阵的行列式因子。 设，证明：∽。 说明下列三个矩阵不能相似。 ； ； 。 设，试计算。 试证明：任何可逆矩阵A的逆矩阵都可表示为A 的多项式。 设，证明：可逆，并将其逆矩阵表示为A 的多项式。 求下列矩阵的有理标准型： ； 。 求下列矩阵的Jordan标准型： ； ； ；。 设，求A的Jordan标准型J，并求相似变换矩阵T， 使 。 设，利用A的Jordan标准型J，求。 求下列矩阵的最小多项式： ； 。 证明：幂等矩阵A（即A=）与对角矩阵相似，且A∽， 其中rank(A)=r。 若，满足，问：A能否与对角矩阵相似？并证明你的结 论。 设满足（m为正整数），证明：A与对角矩阵相似。 设，试证明：A与对角矩阵相似的充分必要条件是存在一个无重零点的多项式，使。 练习三 设是上的一个方阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明：对任何， 是上的一个方阵范数。 设是上的一个方阵范数，B、C都是n阶可逆矩阵，且及都是小于或等于1。证明：对任何， 定义了上的一个方阵范数。 证明：。 对任何算子范数，证明： （1），E为n阶单位矩阵；（2）若A可逆，则。 证明：。 设，是A的特征值。当A可逆时，证明。 证明下列命题： 若矩阵序列，则，； 若方阵函数收敛，则。 已知方阵序列且及都存在，证明： （1）；（2）；（3）。 说明关系式一般不成立。问：该式在何条件下能成立？ 设函数矩阵。 求；；；。 设，A为n阶实对称常数矩阵，而。 试证明：（1）； （2）。 设函数矩阵，求；。 设函数矩阵，求，。 证明：（1）若A 是反Hermite矩阵。则是酉矩阵； （2）若A 是Hermite矩阵。则是酉矩阵。 证明：对于任何方阵A都有（1）； （2）；（3）；（4）。 试证公式。 设，利用上题结果，求。 对下列方阵A，求： （1）；（2）；（3）。 求线性常系数齐次微分方程组，满足初始条件，， 的解。 。 习题四 应用盖尔圆定理证明至少有两个实特征值。 证明：相似于对角矩阵，且特征值都是非零实数。 设，满足，试证明：矩阵A是非奇异的，而且 ，其中。 （提示：注意到，令，作矩阵，求与 的关系。说明B的特征值的模大于或等于1，从而有，最后推出。） 用圆盘定理估计矩阵的特征值的分布范围，并在复平面上作出示意图。 应用盖尔圆定理隔离矩阵的特征值。 应用盖尔圆定理隔离矩阵的特征值，并根据实矩阵特征值的性质改进所得结果。 证明：的谱半径。 证明：的谱半径。