201534第3次课三角函数的伸缩平移变化.docVIP

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 【重点知识梳理】 一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)， x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 三、函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 1.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0，|φ|π)中的参数的方法： 在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定． 2．由y＝sin x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加减多少值． 　 【高频考点突破】 考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的作法 (1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0， ，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 例1、已知函数f(x)＝3sin，x∈R. (1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 【变式探究】把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝－　　　　　　　　 B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝. (3)求φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π(如例2)． 例2、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________． 【变式探究】(1) 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴交于点(0，)，在y轴右边到y轴最近的最高点坐标为，则不等式f(x)1的解集是(　　) A.，k∈ZB.，k∈Z C.，k∈ZD.，k∈Z (2)函数y＝cos(ωx＋φ)(ω0,0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点、最低点，且AB＝2，则该函数图象的一条对称轴为(　　) A．x＝　　　　　　　　 B．x＝C．x＝2 D．x＝1 考点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解． 例3、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)． (1)求f(x)的解析式及x0的值； (2)求f(x)的增区间； (3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域． 【变式探究】函数f(x)＝Asin＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解