[第九章场的量子化及其状态的描述详细版改.pptVIP

并且存在着如下对易关系 的本征值 En表示 的本征值，|n表示属于这一本征值的本征态，则 将 作用到态 上，利用（9-13），得： 将 作用到态 上，利用（9-13），得： 可见，如果|n为 的本征态，则 ， ….也是 的本征态，其本征值为 ，即，若En是 的本征值，则 也是 的本征值。 如果把能量 看成为一个简谐振子量子所具有的 能量，则算符 的作用是减少一个简谐振子量子，使能量本征值为En的态变为能量本征值为 的态。 算符 称为湮灭算符，同理，对算符 有 所以 9.2.2 多模电磁场的量子化 前面已经讲述单模电磁场的量子化。多模电磁场对应多个不同频率的单模电磁场的叠加，它是Maxwell方程组的一般解。因此在与前面相同的条件下，多模电磁场可以表达为： 其中s=1, 2,…，而 是第s个模（纵模）的广义坐标和广义动量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 是第s模的单模电磁场， 是第s模的本征角频率， 是第s模的波数矢量的z分量。多模电磁场的Hamiltonian对应所有单模电磁场的Hamiltonian之和： 其中 为第s模的Hamiltonian Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 量子化之后，经典力学量换成对应的算符，由此得到多模电磁场的Hamiltonian算符为： 其中 为第s模的Hamiltonian算符： 广义坐标算符与广义动量算符满足以下对易关系： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 与单模电磁场相似，引入光子的湮灭算符和产生算符分别如下： 根据坐标算符与动量算符之间的对易关系，可以求得： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 倒过来有： 把上式代入多模电磁场的Hamiltonian算符表达式，并利用产生算符和湮灭算符满足的对易关系，可得到： 其中： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用 表示第s模的粒子数算符本征态，则有 对于多模辐射场，假设第s个模中有ns个光子（s=1,2,…，ns=0,1,2…），则粒子数算符的本征态矢可以写成所有单模本征态矢的张量积（并式矢） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 则有 利用上式可得 即多模电磁场的总能量等于各个单模能量之和。第s模的产生和湮灭算符只对第s模的本征态作用，故有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 利用单模本征态的正交归一关系和完备性关系，可以得到多模本征态的正交归一和完备性关系如下： 因此可以用多模本征态构成的基矢量组张成一个Fock空间（粒子数占有表象），电磁场的任意一个量子状态矢量|ψ可以用这组基矢展开，展开系数构成的