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椭圆中与焦点三角形有关的问题 性质一：当点P从右至左运动时，由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，达到最大。 3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ （面对cos= 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是，分母变化的部分是，二者的关系是 ，于是目标式可分成两部分 ，最后对 利用均值不等式，即可大功告成。 问题5：由上面的分析，你能得出cos与离心率e的关系吗？ 性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中_______________________（当且仅当动点为短轴端点时取等号） 设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！ 题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。 1由椭圆定义，有 平方后得 2　≤＜ 变式1：已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。 变式2：若椭圆的两个焦点、，试问：椭圆上是否存在点，使？存在，求出点的纵坐标；否则说明理由。 方法二：≤＜，但椭圆离心率为，不在范围内，故不存在。 性质三：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积____________ 性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。 题5：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．求椭圆的方程； 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 、是椭圆的两个焦点的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的范围是A． B． C． D． 已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。 短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。 6,已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，。 7.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若， 则椭圆的离心率为 .椭圆（ab0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率是。 一、选择题 1．(09·浙江)已知椭圆＋＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若＝2，则椭圆的离心率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　D [解析]　由题意知：F(－c,0)，A(a,0)． ∵BF⊥x轴，∴＝.又∵＝2， ∴＝2，∴e＝＝.故选D. 2．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1(ab0)上一点，若·＝0，tan∠PF1F2＝，则椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　由·＝0知∠F1PF2为直角， 设|PF1|＝x，由tan∠PF1F2＝知，|PF2|＝2x， ∴a＝x， 由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2得c＝x， ∴e＝＝. 3．(文)(北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [答案]　B [解析]　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆． (理)(浙江台州)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 [答案]　B [解析]　直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8. 5．(文)椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　由余弦定理：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝|F1F2|2. 又|PF1|＋|PF2|＝20，代入化简得|PF1|·|PF2|＝， ∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝. (理)已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为(　　) A．6 B．15 C．20 D．12 [答案]　D [解析]　S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12. 6．(201