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椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用 -----------三探椭圆周长的计算（终结篇） 四川省美姑县中学 周钰承 关键词：椭圆周长，标准公式，近似计算，初等公式。 内容提要：本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式，本文将对部分公式给予证明，或推导，或否定，或检验、评价与应用，希望广大读者喜欢。 目录：一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价 一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算 宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆，但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明，最终得出椭圆周长没有准确的初等公式，但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。 在平面直角坐标系内，椭圆的标准方程是： ， 参数方程是： 函数图像为： 若某条光滑曲线，能用参数方程表示： ， ，该曲线长度可表示为： 故椭圆周长为： 其中是椭圆的离心率。 下面用泰勒公式展开 先由…… 令K=1/2可得： 令可得： 所以： 这个式子可以化简。 因为： 所以： 这就是椭圆周长著名的项名达公式，这是一个准确的椭圆周长公式，虽然准确但实际计算时却只能取精确值（谁能长生不老？）。 其中为长半轴，为椭圆离心率。……………………（1） 根据项名达公式（1），可写出计算椭圆周长C的计算机程序，并得到椭圆周长真值分布表1： Private Sub Form_Click ( ) a = 1 :’ 长半轴长度。a、b可根据实际问题改为其它值 b = 0.15 :’ 短半轴长度，应不大于a，否则两者互换 e = sqr(1-b*b/a/a) :’ 椭圆离心率 k0 = 0.25*e^2 :’ （1）式括号中的第二项 s = 1-k0 :’ （1）式括号中的前二项 for I = 2 to 1000000 :’ 级数算到百万项，一般计算机只需几秒钟 k = k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e :’ (1) 式括号中的某一项 s = s – k :’ 将各项累加到 s 中去，最终就得到 (1) 式括号中的值 k0 = k :’ 为计算下一项，将前一项结果赋给 k0 next I :’ 循环 print 2*3.1415926535*a*s :’ 打印或显示计算结果 End Sub 椭圆周长 1 0.00 4.0000000000… 1 0.01 4.0010983297… 1 0.10 4.0639741801… 1 0.25 4.2892108875… 1 0.50 4.8442241100… 1 0.75 5.5258730400… 1 0.90 5.9731604325… 1 0.99 6.2518088479… 1 1.00 6.2831853070… 表1.椭圆周长真值的分布 项名达公式虽然易于设计程序，但另一个级数公式收敛得更快，且只含加法运算，如果我们不方便编程，可以事先进行误差估计，从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周长。为了方便，我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。 为了估计误差，我们设，则周钰承标准公式为： …………（2） 这个公式中，主干为，我们可以把 ………………………………（3） 称为误差多项式。 假如要求我们误差率低于，我们设需要计算到误差多项式第n项，不妨设，则误差率为误差多项式（3）第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式： 因为（注意）： 所以只须： …………………………………………（4） 公式（4）称为周钰承标准公式（2）的误差公式。取满足不等式（4）的最小整数，为此，我们只需要一个带有函数的学生计算器便可以根据精确度要求，知道我们应该计算到第几项，计算所得的值在给定误差率的情况下是准确的。注意：计算到误差多项式第n项，就是周钰承标准公式（2）括号中算到2n次方项；若n为负数或者小于2，就算到误差多项式（3）第2项，即公式（2）中括号里的4次方项。如n-1.86745.则周钰承标准公式中，中括号里应该算到4次方项。因为误