l椭圆性质例题.docVIP

类型一：椭圆的基本量1．指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率.　　解析：椭圆的方程为，所以，，.　　　　　∴焦点坐标为，　　　　　准线方程为和，　　　　　离心率.　　总结升华：要将椭圆的方程化为标准形式，才能确定基本几何量.　　举一反三：【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=________【答案】7　　【变式2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长=___________. 【答案】20　　【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是（ ）。　　A．－4≤m≤4且m≠0 　　　B．－4＜m＜4且m≠0 　　　C．m＞4或m＜－4　　　 D．0＜m＜4　【答案】B　　【变式4】已知椭圆mx2+3y2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m的值。【答案】m＝5。类型二：椭圆的标准方程2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：　　（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；　（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。　　思路点拨：用待定系数法。　　解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。　　　　 ∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4　　　　 ∴b2=a2－c2=52－42=9　　　　 ∴所求椭圆的标准方程为；　　（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为　　　　 由椭圆的定义知，，　　　　 ∴　　　　 又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6　　　　 ∴所求椭圆的标准方程为。　　总结升华：求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。　　举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。　　【答案】。　　【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。　　【答案】。　　3．求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。　　解析：设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。　　　　　∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），　　　　　∴ ∴　　　　　∴所求椭圆方程为。　　总结升华：在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。在无法判断焦点的位置时可设mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。　　举一反三：　　【变式】已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。　　【答案】　　4．求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。　　解析：把方程4x2+9y2=36写成，则其焦距为　　　　　由题知，则，　　　　　∴a=5，b2=a2－c2=52－5=20　　　　　∴所求椭圆的方程为或。　　总结升华：本例中由于没指明焦点所在的坐标轴，所以椭圆的方程应有两种形式。　　【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是（ ）　　A． 　　　B． 　　　C． 　　D．以上都不对　　【答案】D　　【变式2】椭圆过（3，0）点，离心率，求椭圆的标准方程。　　【答案】或。　　【变式3】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。　　【答案】或。　　【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。　　【答案】或。类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围5．已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点为原点，求其离心率的取值。　　解析：椭圆长轴顶点到相应焦点的距离为，准线到相应焦点的距离为.　　　　　由已知得，解得，.　　举一反三：　　【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( )　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 不确定　　【答案】B　　【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ 　）　　　　【答案】D　　【变式3】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，则椭圆的离心率为__________。　　【答案】　　【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。　　【答案】　　6．已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。　　解析：△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，　　　　　由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2