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椭圆与双曲线常见题型归纳 一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型 例1.在直角坐标系中点到两点的距离之和为4设点的轨迹为,直线与交于两点（Ⅰ）写出的方程; （Ⅱ）若求的值 解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 若，即． 而， 于是， 化简得，所以． 、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 解法二：易知，所以，设，则 （以下同解法一） （Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线， 联立，消去，整理得： ∴ 由得：或 又 ∴ 又 ∵，即 ∴ 故由①、②得或 例3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为 (1) 求双曲线C的方程； (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。 例3．解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为 （Ⅱ）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即 ① 设，则 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范围为 【变式题1】．已知椭圆（a＞b＞0，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为． （1）求椭圆的方程． （2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由． 解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0． 　　依题意　解得　 ∴　椭圆方程为　．…………………4分　　 （2）假若存在这样的k值，由得． 　　∴　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 　　设，、，，则　　　　　　　　　　　　② 　　…………………………………………8分 而． 　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．…………………………………………10分 　　∴　．　　　　　　　　　　　　　　　③ 　　将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立． 　　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分 2．“中点弦型” 例4.已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同 两点关于直线对称。 例4.解：设，的中点， 而相减得 即， 而在椭圆内部，则即 例5.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为 （I）求该双曲线方程. （II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段 的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由. 例5.（1） （2）设，直线：，代入方程得 （） 则，解得 ，此时方程为， 方程没有实数根。所以直线不存在。 【变式题2】已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。 （I）求椭圆的方程； （II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。 解：（I）设椭圆方程为 解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 …………………………4分 （II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得 ………………………… 5分 由题意得 …………………………7分 解得 又直线l与坐标轴不平行 ……………………… 故直线l倾斜角的取值范围是 …………………………12分 3．“弦长型” 例6．直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S． (I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值； （Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程． 例6(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为， 由，解得 所以 当且仅当时，．S取到最大值1． （Ⅱ）解：由得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① ｜AB｜＝ ② 又因为O到AB的距离　　所以　　③ ③代入②并整理，得 解得，，代入①式检验，△＞0 故直线AB的方程是 或或或． 【变式题3】已知向量 =（0，x），=（1，1）， =（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量= +，=－，且//，点P（x，y）的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，