最短路径问题ppt分析.ppt

* 惠阳区第一中学 叶剑亭 如图A，B是路边两个新建小区，要在路边增设一个公共汽车站C。使两个小区到车站的路程最短，该公共汽车站应建在什么地方？ A B . C 复习巩固 导入课题 解： 连接AB交直线于点C，该公共汽车站就建在C点的位置上 两点之间，线段最短 复习巩固 导入课题 　　 　　情景1 牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ B A l 设置情景 合作探究 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 　　将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小 B A l C 设置情景 合作探究 同侧问题 异侧问题 如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C都保持CB 与CB′的长度相等？ 　　作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交 于点C． 则点C 即为所求． B · l A · B′ C 如何说明AC +BC最短呢？ 设置情景 合作探究 　　证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不 重合），连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′． B · l A · B′ C C′ 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 　　即　AC +BC 最短． 设置情景 合作探究 情景2：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥EF。桥造在何处才能使从A到B的路径AEFB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。 再设情景 深入探究 你能仿照情景1将这个问题抽象为数学问题吗？ 　　把河的两岸看成两条平行线a和b，A、B两地抽象为两个点，把F点看成是直线b中的动点，EF垂直于直线b，交直线于点E，当点F在直线b的什么位置时，AE+EF+FB最小？ 再设情景 深入探究 由于河岸宽度是固定的，因此当AE+FB最小时， AE+EF+FB最小，即当点F在直线b的什么位置时，AE+FB最小？ 能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把问题转化为两点之间，线段最短问题呢？ . a B E F A. A ′. b F E 作法：将点A沿与河垂直的方向平移EF的距离到A ′ ，那么为了使AEFB最短，只需A ′ B最短。根据两点之间距离最短，连接A ′ B，交河岸于点N，在此处造桥EF，所得路径AEFB就是最短路径。 再设情景 深入探究 A. a b .B E F A ′ 拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？ 再设情景 深入探究 加强训练 体验成功 1、如图正方形ABCD的AB边上有一点E，在AC上找一点P使EP+BP的距离最短 E . A B C D 2、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 　　回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 归纳总结 归纳：在解决最短路径问题是，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。 布置作业 课外作业 一、必做题： 1、课本:P93 复习题13 第15题。 二、选做题： 1、如图，某河CC′ 处直角拐弯，河宽均相同。现要在河流拐弯的两旁分别造桥DD′、 EE′桥要与河垂直，问该如何造桥可使得ADD′EE′EB的路程最短？ 2、如图，已知E是边长为4的等边三角形ABC的AB边上的一点，AD⊥BC于D，请在AD上找一点N,使得EN+BN有最小值。 A B D C . E C C′ .A B. *