最短路径问题修改2分析.ppt

流程 创意情景 探索新知 运用新知 课堂小结 课后思考 创设情境 【问题1】 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ B l 尝试建模 　　 【追问1】这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 　　 将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。 B · · A l 尝试建模 　　 【追问2】你能用自己的数学语言说明这个问题的意思？ ①从A 地出发，到河边l饮马，然后到B 地； ②在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和。 尝试建模 现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）。 　【追问3】你能用自己的数学语言并把它抽象为数学问题吗？ B · l A · C 　 【问题2】如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 探索新知 C B l A · 　 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连 接AC′，BC′，B′C′。 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′。 ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′= AC′+B′C′。 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′。 　　 即　AC +BC 最短。 　 【问题3】你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B · l A · B′ C C′ 探索新知 B · l A · B′ C 探索新知 　　答：若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC 最小． 　　【追问1】证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明 AC +BC ＜AC′+BC′？ 这里的“C′”的作用是什么？ B · l A · B′ C C′ 探索新知 　 【追问2】回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ B · l A · B′ C C′ 运用新知 　 【练习】如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。 A B C P Q 山 河岸 大桥 　　基本思路： 　　由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使 PR与QR 的和最小”。 运用新知 A B C P Q 山 河岸 大桥 课堂小结 课后思考 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。