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三角形心的性质及其应用 △ABC的重心，AG交BC于D，则⑴BD＝⑵AG∶AD＝∶3；⑶AD2＝＋－⑷S△ABC＝△GBC 设⊙O(R)是△ABC的外接圆，则⑴OA＝＝＝⑵∠BOC＝∠A或2(180?－∠⑶S△ABC＝△ABC的内切圆⊙I(r)与AB切于P,AI的延长线交外接圆于D，则：⑴∠BIC＝?＋⑵AP＝·ctg－⑶DB＝＝ ⑷S△ABC＝aha ＝pr＝·r ＝ ＝·sinC＝·sinA＝·sinB ＝△ABC的外心、重心和垂心，OD⊥BC于D，AH的延长线交外接圆于H1，则：⑴AH＝⑵H与H1关于BC成轴对称；⑶S⊙HBC＝S⊙⑷O、G、H三点共线，且OG∶GH＝∶2(欧拉定理) 设△ABC在∠A内的旁切圆⊙I1(r1)与边AB的延长线切于P1，则：⑴∠BI1C＝?－⑵S△ABC＝·；⑶AP1＝；(4)BP1＝⑸∠AI1B＝设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB、△OBC、△OCD、△ODA的重心分别为E、F、G、H，则SEFGH∶SABCD＝__________解：如图，设E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE.则四边形EFGH∽四边形EFGH且由图易见，SEFGH＝SABCD于是已知BD和CE是△ABC的两条中线，求证：BD2＋CE2＞BC2 证法一：设BC＝a，AC＝b，AB＝c则由三角形中线公式BD2＝(2AB2＋2BC2－AC2)CE2＝(2AC2＋2BC2－AB2)∴ BD2＋CE2＝(4BC2＋AB2＋AC2)＝(4a2＋b2＋c2)＝[8a2＋(b＋c)2＋(b－c)2]≥[8a2＋(b＋c)2]＞(8a2＋a2)＝a2 (∵ b＋c＞a)即 BD2＋CE2＞BC2证毕！ 证法二：设CE、BD交于G，连结AG并延长交BC于F，则在△GBC中，由三角形中线公式 GF2＝(2BG2＋2CG2－BC2)得 BG2＋CG2＝2GF2＋BC2即 (BD)2＋(CE)2＝2GF2＋BC2∴ (BD2＋CE2)＝2GF2＋BC2∴ BD2＋CE2＝(4GF2＋BC2) ＞BC2凸四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于P，△PAB与△PCD的外心分别为O1、O2，求证：四边形PO1OO2为平行四边形. 证明：如图，延长O2P交AB于E，作O2H⊥PD于H，O2G⊥PC于GDH＝PH，PG＝CG连结HG，则HG∥CD∴ ∠3＝∠PHG又O2、H、P、G四点共圆所以：∠PHG＝∠PO2G＝∠3即∠3＋∠4＝90° ……⑴但∠4＝∠2，∠3＝∠1∴ ∠1＋∠2＝90°∴ PE⊥AB由O1是AB中垂线上的点得：OO1⊥AB∴ PO2∥OO1同理可证：PO1∥OO2即证得：PO1OO2是平行四边形证毕！ △ABC中，若∠A、∠B、∠C的平分线与外接圆分别交于P、Q、R，则AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB 证明：(利用三角形两边之和大于第三边)∵ AI＋BI＞AB(I为△ABC之内心) BI＋CI＞BC CI＋AI＞AC∴ 2(AI＋BI＋CI)＞AB＋BC＋CA ⑴又∵ PB＝PI＝PC (内心性质)∴ 2PI＞BC，2QI＞AC，2RI＞A ⑵⑴＋⑵:AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB证毕！设I是△ABC的内心，CI的延长线与边AB和外接圆分别交于D和K，求证:证明：⑴连结KB，如图有∠2＝∠3＝∠1∠BKD＝∠BKC于是可得：△KDB∽△KBC∴ ，而BK＝IK∴ …………⑴又在△BDC中，由内分定理 …………⑵由⑴⑵:T 证毕！⑵由⑴证得：∴ ＝证毕！ 已知△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，试求∠A的度数. ⑴如果垂心在三角形内，如图⑴作OD⊥BC于D，由OD＝＝＝可知 ∠OBD＝?从而 ∠BOD＝?即 ∠A＝?⑵如果垂心在三角形外，如图⑵作OD⊥BC于D由OD＝＝连结BO并延长交⊙O于E，连结CE可知 ∠OBD＝?∴ ∠BEC＝?从而 ∠BAC＝∠ ＝?－∠ ＝?－? ＝? 已知△ABC的内切圆⊙I与BC边切于D，DE是⊙I的直径，AE的延长线交BC边于F，求证：BD＝CF.证明：设AB＝＝＝则BD＋＝＋＋∴ BD＝＋－⑴下面仅需证明 CF＝＋－为此，作FI1⊥BC交AI的延长线于I1,I1G⊥AC于G，