高中数学对数函数-合作与讨论.docVIP

对数函数-合作与讨论 　　本节课在理解对数函数定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质．而且对数函数与指数函数互为反函数，可见二者是密切相联的，我们要把握好二者的关系． 　　1．指数函数与对数函数的关系是什么? 　　解答：（1）函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝logax（a＞0且a≠1）互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，指数函数的定义域与值域是其相应对数函数的值域与定义域． 　　（2）对数函数与指数函数均为非奇非偶函数． 　　（3）指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与（a＞0且a≠1）的图象关于y轴对称． 　　（4）指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）在y轴右侧部分，图象越在上方，其底数越大，对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）在x轴上方部分，图象越在下边，其底数越大． 　　（5）对于指数幂，底可以取1也允许取负值；而在指数函数中底数必须是不等于1的常数． 　　2．如何理解对数函数与对数函数图象之间的关系? 　　解答：对数函数的图象可根据反函数的图象性质作出，又可用描点法来画，把握住对数函数图象的以下特征，就能准确地画出对数函数的图象：　　　 　　（1）过点（1，0），（a，1）． 　　（2）y轴是渐近线． 　　（3）a＞1时由左向右逐渐上升，0＜a＜1时逐渐下降． 　　（4）曲线位于y轴右侧，且以y轴为渐近线定义域x＞0． 　　（5）曲线向上向下无限延伸值域yR． 　　（6）曲线恒过定点（1，0）loga1＝0，即x＝1时，y＝0． 　　（7）a＞1时，曲线逐渐上升a＞l时，函数递增；0＜a＜1时，曲线逐渐下降0＜a＜1时，函数单调递减． 　　3．如何用特例来理解对数函数与指数函数的关系? 　　画出y＝3x，y＝log3x，，，y＝2x，y＝log2x，与的图象． 思路分析 　　本节内容主要包括对数函数的概念、对数函数的图象和性质． 　　在高中数学课程标准中对本节的要求是：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a＞0，a≠1）． 　　从新课标要求来看，首先必须能够借助计算器或计算机画图．那么我们能否独立地画出y＝log2x，等常见对数函数的图象呢?又有几种方法可以得到它们的图象呢? 　　有了图象就要求我们能够从图象得出一些性质，并初步理解这些性质．下面我们具体讨论一下对数函数的定义及其相关性质． 　　1．对数函数的概念 　　（1）对数函数的定义 　　一般地，函数y＝logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数． 　　（2）关于定义的理解 　　①由对数的定义，容易知道对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）是指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的反函数． 　　②利用反函数的性质，由指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义域xR，值域y＞0，容易得到对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）的定义域为x＞0，值域为R．利用上节学过的对数概念，也可得出这一点． 　　2．对数函数的图象与性质 　　对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，对数函数的性质如下： 　　（1）定义域（0，＋∞），值域（－∞，＋∞）； 　　（2）当a＞1时，y＝logax在（0，＋∞）上为增函数； 　　（3）当0＜a＜1时，y＝logax在（0，＋∞）上为减函数； 　　（4）当x＝1时，y＝0； 　　（5）当x＞1，若a1，a2＞1时，底大图低；若0＜a1，a2＜1时，则底大图高． 　　当0＜x＜1时与以上情况正好相反，见下表． x的范围 0＜x＜１ x＞1 函数值大小 a2＞a1＞1的情况 0＜a1＜a2＜1的情况 0＜a1＜1＜a2的情况 　　注：对数函数与指数函数在它们各自的定义域内增减性是一致的，即a＞1时它们都是增函数，0＜a＜1时它们都是减函数． 　　利用函数的单调性可进行对数大小的比较．比较对数大小的常用方法有： 　　①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断； 　　②若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论； 　　③若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较； 　　④若底数、真数都不相同，则常借助1、0、－1等中间量进行比较． 　　3．指数函数与对数函数的对比 名　称 指数函数 对数函数 一般形式 y＝ax（a＞0，a≠1） y＝logax（a＞0，a≠1） 定义域 （－∞，＋∞） （0，＋∞） 值域 （0，＋∞） （－∞，＋∞） 函 数 值 变 化 情 况 单调性 当a＞1时，ax是增函数 当0＜a＜1时，ax是减函数 当a＞