高中数学向量的数乘运算及其几何意义.docVIP

向量的数乘运算及其几何意义 【知识与技能】 1.掌握向量数乘的运算并理解其几何意义，掌握实数与向量的积的运算律； 2.理解两个向量共线的等价条件，会根据条件判断两个向量是否共线； 3．数和向量的乘积，从形式上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中，“万变不改其性”的哲理. 【过程与方法】 数的运算乘法可转化成有几个数相加，向量同样可以有3a=a+a+a，-3a= -a+（- a）+（- a），从而引入了数乘. 通过实例观察数乘的结果，分析这个结果和原来向量的关系: 长度和方向都改变了,最后从感性材料中得到：（1）实数和向量的乘积还是一个向量，（2）此向量和原向量是平行关系，（3）方向取决于所乘实数的符号. 一．教学目标 1．理解并掌握实数与向量的积的意义． 2．理解两个向量共线的充要条件，能根据条件判断两个向量是否共线； 3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 二．教学重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件； 三．教学难点：理解实数与向量的积的定义，向量共线的充要条件； 四．教学过程 ㈠设置情境 我们知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现，如力与加速度的关系f=ma，位移与速度的关系s=vt．这些公式都是实数与向量间的关系． 问：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，（已知向量已作在投影片上），并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？ 答：的长度是的长度的3倍，其方向与的方向相同，的长度是长度的3倍，其方向与的方向相反． 本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积（一）） ㈡探索研究 问：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？可结合教材思考． 答：我想这样规定：实数与向量的积就是，它还是一个向量． 想法很好．不过我们要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行． ⒈实数与向量的积的定义： 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： （1） （2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时， ⒉下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律： 问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 答：， 设、为任意向量，，为任意实数，则有： （1） （2） （3） 通常将（1）称为结合律，（2）（3）称为分配律，有时为了区别，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律． ⒊例题讲解： 【例1】计算：（1）， （2）． （3） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式． ⒋下面我们研究共线向量与实乘向量的关系． 问：请同学们观察，，有什么关系． 答：因为，所以、是共线向量． 问：若、是共线向量，能否得出？为什么，可得出吗？为什么？ 答：可以！因为、共线，它们的方向相同或相反． 由此可得向量共线的充要条件．向量与非零向量共线的充分必要条件是有且仅有一个实数，使得（此即教材中的定理．） 对此定理的证明，是两层来说明的． 其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中的第（2）条知与共线，即与共线． 其二，若与共线，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使． 【例2】如图：已知，，试判断与是否共线． 解： ∵ ∴与共线． 练习（投影仪） 1.设、是两个不共线向量，已，，若、、三点共线，求的值． 解：∵、、三点共线． ∴、共线存在实数，使 即 ∴， 2.若为的对角线交点，，，则等于（ B ） A． B． C． D． 4．总结提炼 （1）与的积还是向量，a与是共线的． （2）一维空间向量的基本定理的内容和证明思路，也是应用该定理解决问题的思路．该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题． （3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项． 五．板书设计 教学目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。 教学过程： 一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律） 3．向量共线的充要条件 【例题】 例1 若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，