高中数学古典概型-典型例题.docVIP

古典概型-典型例题 规律发现 【例1】口袋里装有100个球，其中有1个白球和99个黑球，这些球除颜色外完全相同.100个人依次从中摸出一球，求第81个人摸到白球的概率. 分析：只考虑第81个人摸球的情况.此法不难理解，因为每个人摸到白球的概率都相等，有100个球，而白球只有1个. 解：只考虑第81个人摸球的情况.他可能摸到100个球中的任何一个，这100个球出现的可能性相同，且第81个人摸到白球的可能结果只有1种，因此第81个人摸到白球的概率为. 【例2】100个人依次抓阄决定1件奖品的归属，求最后一个人中奖的概率. 分析：这是日常生活中常见的问题，中奖与否与先抓后抓没有关系，每个人中奖与不中奖的概率都相同. 解：只考虑最后一个人抓阄的情况，他可能抓到100个阄中的任何一个，而他摸到有奖的阄的结果只有一种，因此，最后一个人中奖的概率为. 【例3】从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率. （1）每次取出不放回； （2）每次取出后放回. 分析：问题的关键在于一种是不放回试验，一种是放回试验.不放回试验，取一件少一件；而放回试验，取一件后，再取一件时情况不变.通过列出所有基本事件解答比较直观易懂. （1）解法一：每次取出后不放回的所有可能结果有（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），其中小括号内左边字母表示第一次取出的产品，右边字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件.其中有一件次品的事件有（a，c），（b，c），（c，a），（c，b），共4个基本事件. 因此，每次取出后不放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为. 解法二：取出的两件产品中有一件次品，至于是第一次取出，还是第二次取出可不必考虑，则所有可能结果有（a，b），（a，c），（b，c），共3个基本事件；而恰有一件次品的基本事件有（a，c），（b，c），共2个.因此结果与解法一相同. （2）解：这是放回试验，第一次被取出的产品，第二次也可能被取出，由于最后关心的是两件产品中有一件次品，因此必须考虑顺序，则所有可能结果有（a，a），（a，b），（a，c），（b，a），（b，b），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c），共9个基本事件，其中恰有一件次品的基本事件有（a，c），（b，c），（c，a），（c，b），共4个基本事件. 因此每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件次品的概率为. 若用前3种解法相当烦琐，而用解法4的方法问题则迎刃而解，且比较直观. 这是古典概型，每个人中奖的概率相同，与第几个开始抓没有关系. 建立概率模型，写出所有的基本事件，再写出某事件所含有的基本事件，问题就比较容易解答. 每次摸出一球是有顺序的，（a，b）与（b，a）不同. 可不考虑顺序，即（a，b）与（b，a）可认为相同. 结果（a，a）在第（1）题不可能出现，由于是放回试验，在第（2）题中就有了可能. 互斥事件 规律发现 【例1】从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A=“抽到的一等品”，事件B=“抽到的二等品”，事件C＝“抽到的三等品”，且已知P（A）=0.7，P（B）=0.1，P（C）=0.05.求下列事件的概率. （1）事件D=“抽到的是一等品或二等品”； （2）事件E=“抽到的是二等品或三等品”. 分析：事件A、B、C彼此互斥，且D=A+C，E=B+C. 解：（1）∵D=A+C，且事件A和C互斥，P（A）=0.7，P（C）=0.05， ∴P（D）=P（A+C）=P（A）+P（C）=0.7+0.05=0.75. （2）∵事件E=B+C，且事件B和C互斥，P（B）=0.1，P（C）=0.05， ∴P（E）=P（B+C）=P（B）+P（C）=0.1+0.05=0.15. 【例2】某学校成立数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示.随机选取1个成员： （1）他至少参加2个小组的概率为多少? （2）他只参加1个小组的概率是多少? 分析：至少参加2个小组是指参加2个小组或3个小组，其反面是只参加1个小组. 解：设事件A=“只参加英语小组”，B=“只参加音乐小组”，C=“只参加数学小组”，D=“只参加英语、音乐小组”，E=“只参加英语、数学小组”，F=“只参加音乐、数学小组”，G=“参加了英语、音乐、数学3个小组”. （1）设事件M=“他至少参加2个小组”，则M=D+E+F+G. ∵3个小组共有60人，且P（D）=，P（E）=，P（F）=，P（G）=， ∴P（M）=P（D+E+F+G）=P（D）+P（E）+P（F）+P（G）=. （2）设事件N=“他参加