数一（参考答案）.docVIP

2005年研究生入学考试数学一模拟试题参考答案 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题 （1）已知为常数，可导，则＝______________. [解] （2）设，则_______________. [解] （3）已知微分方程有特解，则____________. [解]令 代入方程　 由通解 .两边取微分， 得 （4）设L为包含原点的反时针方向的闭曲线，则＝_______________. [解] 包含于其内，∴ . 作 则 （5）设A为n阶方阵，E为n阶单位阵，且，则＝_________. [解] ∴ （6）设为随机变量，为与的相关系数，则＝_______________. [解] 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7） （A）1. 　（B）.　 　（C）. 　　（D）.　　　　　　　　　　　　［　　］ [解] . 选（A） （8）设函数由方程确定，且在处二阶可导，，则 （A）在处取极小值. （B）在处取极大值. （C）在处不取极值. （D）无法判定.　　　　　　　　　　　［　　］ [解] 　 选（A） （9）设条件收敛，则必有 （A）收敛 . （B）收敛. （C）发散. （D）一个，当时 ，.　　　　［　　］ [解] 条件收敛. 由条件收敛级数的所有正项与所有负项所构成的级数发散. ∴ 选 (C) （10）设函数，则 （A） . （B）. （C）. （D）.　　　　　　　　　　　　　　［　　］[解] 由 由 故 选(B) （11）设线性方程组为矩阵，的行向量组线性无关，则 （A）的列向量组线性无关. （B）的行向量组线性无关. （C）的列向量组线性无关. （D）中的任意个列向量线性无关. ［　　］[解] 选 (B) 先考虑：行对行、列对列即可知 （12）阶实对称阵为正定矩阵的充要条件是 （A）. （B）的所有特征值非负. （C）为正定阵. （D）秩. 　　　　　　 　 ［　　］ [解] 选 (C) （13）设和是独立且均在上服从均匀分布的随机变量，则 （A）. （B）. （C） . （D）. 　　　　　 　　　　　 ［　　］ [解] 由题设的联合分布密度 dxdy 选(C) （14）设总体服从，已知，未知，为来自容量为的样本，则检验假设已知）的拒绝域为 （A）. （B）. （C）. （D）. ［　　］ [解] ∵已知，拒绝域只能是(A),(B)，又∵是单侧检验， ∴选(B) 三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） (15) (本题满分12分) 求. [解] (16) (本题满分11分) 设为定义在上且满足的连续 函数，试求在上的平均值. [解] 等式两边从到积分 又 ∵在上的平均值. (17) (本题满分12分) 设一旋转抛物面内盛有高为的液体，把另一同轴旋转抛物面浸没在它里面达， 问液面上升多少？ [解] 设两旋转抛物面由平面上两抛物线，绕y轴旋转而成，设为被第二个抛物面所排开液体体积，则. 设被挤上升的液体体积为，则 由,得 ∵.∴ 故液面上升高度 （18）（本题满分11分） 已知是的一个原函数，而是微分方程满足初始条件 的解. ①将展成的幂级数； ②求的和. [解] (1)由题设 又 (2)即 令得 （19）（本题满分12分） 设具有二阶导数，为平面上任一条分段光滑的曲线，积分 与路径无关。 当时，求； ② 设是从到的分段光滑曲线，计算. [解] (1) 令 ① 代入 ② ③ ③代入① 得: 特征方程 故 令,得 令 故 (2) （20）（本题满分9分） 设