2009年广东地区高中数学导数在研究函数中的应用与生活中优化问题课件.pptVIP

* 导数在研究函数中的应用 与生活中优化问题举例 y=f(x) x o y a b a b y=f(x) x o y f (x)0 f (x)0 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数, 如果在这个区间内 0,那么函数y=f(x) 在 这个区间内为增函数;如果在这个区间内 0, 那么函数y=f(x)为为在这个区间内的减函数 如果在定义域内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数 函数单调区间： 结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则 函数在该区间 如果f′(x)0, 则f(x)为增函数 如果f′(x)0, 则f(x)为减函数 不能 思考：1、 (x∈(a,b))能推出f(x)在(a,b)上为 增函数，但是若f(x)在(a,b)上为增函数能 否推出 ？ 2、若f(x)为增函数，一定能推出 但是若 能否推出f(x)为增函数 ？ 不能 极大值与极小值： 设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大， 即f(x0)f(x)，说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小， 即f(x0)f(x) ，说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值 a b 点a叫做函数f(x)的极大值点， f(a)叫做函数f(x)的极大值 点b叫做函数f(x)的极小值点，f(b)叫做函数f(x)的极小值 第一：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言，在函数的整个定义区间可能有多个极 大值或极小值。且极大值不一定比极小值大 （一个极值点对应函数的一个极值） 第二：点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数 异号. 若f(x)为可导的函数，点是极值点的 必要条件是在这点的导数为0 函数的最值: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨 论问题,是一个整体性的概念 (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值. 开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必 是函数的最值 (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大 值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区 间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值) (4)解决实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这 样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最 大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较 例1.关于函数的极值，下列说法正确的是（ ） A.函数的极小值一定小于它的极大值 B.f(x)在定义域内最多有一个极大值一个极小值 C.若f(x)在(a,b)内有极值，那么f(x)在(a,b)不 是单调函数 D.导数为0的点一定是函数的极值点 C 函数f(x)在点x0处有极值f(x0)，则f/(x0)=0或f/(x0)不存在 总结：根据导数确定函数的单调区间一般需三步： 3.解不等式f ′(x)0,得x的范围就是函数 单调递增区间 解不等式f′(x)0,得x 的范围就是函数 单调递减区间 1.确定函数y=f(x)的定义域 2.求出函数f(x)的导数.即 说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要方法.其解题步骤是: 令F(x)=f(x)-g(x),x≥a,其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而将要证明的不等式“当xa时,f(x)g(x)”转化为证明: “当xa时,F(x)F(a)” 练习： 1.函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值为 . 最小值为 . ③:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值) ④:将函数y=f(x)的各极值与端点处f(a)、f(b)作比较,其中最大 的一个为最大值,最小的