2009届必威体育精装版高三数学压轴题汇编（二）.docVIP

2009届必威体育精装版高三数学压轴题汇编（二） 21.（本题满分14分）已知实系数二次函数对任何，都有. (1)若，且，数列满足，问数列能否构成等差数列，若能，请求出满足条件的所有等差数列；若不能，请说明理由； (2)求的最大值. 21.(1)设，则，，又，，若数列构成等差数列，可设为常数，因为，所以，解得：，所以数列能构成等差数列：①0，0，0，……；②……；③…… --------4分 （2）因为，所以-----------6分 , ……（＊）---------8分 若，则，即 （＊）式＝ 　　　　------------------11分. 若，同上可得（＊）式. 令，此时函数满足条件，即时，，且． ∴的最大值是3 10．已知曲线C：xy = 1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点A1、A2、A3、…、An、…的横坐标构成数列{xn}，其中． (1) 求xn与xn+1的关系式； (2) 若，，求{an}的通项公式； (3)求证：； 10．解：（1） ∴ （2） ∴ 又 ∴为等比数列 ∴ ∴ （3） ∴ 当n为奇数时， 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上， 21．（本小题满分14分） 如右图（1）示，定义在D上的函数，如果满足：对， 常数A，都有≥A成立，则称函数在D上有下界，其中 A称为函数的下界. （提示：图(1)、（2）中的常数A、B可以是正数， 也可以是负数或零） （1） （Ⅰ）试判断函数在（0，＋）上是否有下界？并说明理由； （Ⅱ）又如具有右图（2）特征的函数称为在D上有上界。请你类 比函数有下界的定义，给出函数在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ） 中的函数在（－， 0）上是否有上界？并说明理由； （Ⅲ）若函数在D上既有上界又有下界，则称函数在D上 (2) 有界，函数叫做有界函数．试探究函数（是常数）是否是（、是常数）上的有界函数？ 21.解：（Ⅰ） 解法1：∵，由得， ∵， ∴，-----------------------------2分 ∵当时，，∴函数在（0，2）上是减函数； 当时，，∴函数在（2，＋）上是增函数； ∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点， ∴对，都有，------------------------------------4分 即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立， ∴函数在（0，＋）上有下界. -----------------------------5分 [解法2： 当且仅当即时“＝”成立 ∴对，都有， 即在区间（0，＋）上存在常数A=32,使得对都有成立， ∴函数在（0，＋）上有下界.] （Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义： 定义在D上的函数，如果满足：对，常数B，都有≤B成立，则称函数在D上有上界，其中B称为函数的上界.------------------------------7分 设则，由（Ⅰ）知，对，都有， ∴，∵函数为奇函数，∴ ∴，∴ 即存在常数B=－32，对，都有, ∴函数在（－， 0）上有上界.----------------------------9分 （Ⅲ）∵， 由得，∵ ∴ ∵ ， ∴，--------------------------------10分 ∵当时，，∴函数在（0，）上是减函数； 当时，，∴函数在（，＋）上是增函数； ∴是函数的在区间（0，＋）上的最小值点， ------------------------------11分 ①当时，函数在上是增函数； ∴ ∵、是常数，∴、都是常数 令, ∴对，常数A,B,都有 即函数在上既有上界又有下界-------------------------12分 ②当 时函数在上是减函数 ∴对都有 ∴函数在上有界.-------------------------13分 ③当时，函数在上有最小值 ＝ 令,令B=、中的最大者 则对，常数A,B,都有 ∴函数在上有界. 综上可知函数是上的有界函数--------------------14分