专题四、三角综合应用.docVIP

专题四、三角综合应用 　　一、 考点归纳 　　1. 熟练掌握三角变换公式、三角函数图像性质、掌握三角形中边角关系（正弦定理、余弦定理、面积公式），并能用其解决相关的综合问题. 　　2. 能够运用正弦定理、余弦定理以及三角变换公式等解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 　　二、知识点精讲 　　1. 解三角形应用题： 　　（1）理解测量中相关角概念： 　　①方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），如北偏东××度. 　　②俯角和仰角：在视线与水平线所成的角―― 　　视线在水平线上方的角叫仰角， 　　视线在水平线下方的角叫俯角. 　　如图中OD、OE是视线，OC为水平线，∠DOC是仰角， ∠EOC是俯角. 　　③方位角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北方向作为起始方向顺时钟方向旋转到目标的方向线所成的角. 　　（2）求解三角形应用题的一般步骤： 　　①审题：分析题意，弄清已知和所求； 　　②建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； 　　③求解：正确运用正、余弦定理、面积公式求解； 　　④检验：检验上述所求是否符合实际意义； 　　⑤作答：问什么答什么. 　　（3）常见类型： 不少常见三角应用题可归结为图中知部分量求其他量的问题. 　　图形1：CD⊥AB，AB=m，BD=n，AC=p，BC=q，CD=h，∠BAC= ，∠DBC= . 　　① 知m， ， ，求h（C到线路AB的距离或物体的高等）. 　　由tan = ，tan = ，联立方程组得： 　　h=mtan +h h= ； 　　② 知h， ， 求m或知h，m， ， ，求n. 　　可看作①逆向问题. 　　当图形在水平面上时可看作距离或物体宽度，当图形在垂直面上时可看作物体的高度问题. 　　③ 知m，n，h求视角∠ACB（h或n之一为变量时可求最大值）. 　　tan∠ACB=tan（ - ）= = = 　　. 　　图形2：两三角形综合问题. 　　已知∠BCA= ，∠ACD= ，∠CDB= ，∠BDA= ，求AB. 　　在△ADC，△BDC中应用正弦定理得： 　　AC= = ； 　　BC= = . 　　再在△ABC中，应用余弦定理可得： 　　AB= . 　　2. 三角综合问题常见题型： 　　（1）解三角形、三角变换与三角函数图像、性质综合； 　　（2）三角与向量综合； 　　（3）三角与函数、不等式综合； 　　（4）三角与几何综合； 　　（特别注意在解析几何与立体几何中涉及三角形的计算时要有解三角形的思想） 　　（5）三角与数列综合. 　　三、 例题精选及评析 　　1. 在某海岛的山顶上设有一灯塔，有一测量船在A处测得灯塔在其北偏东60°且仰角为30°，当该船向正东航行了600米到达B处时测得灯塔在其北偏西15°，则此灯塔海拔高度是________米. 　　解析：画出示意图如历右，设D处的灯塔在海平面射影为C， 　　依题意知∠CAD=30°，CD⊥AC ∴h=CD=ACtan∠CAD； 　　∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°-15°=75， 　　∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=75°=∠ABC， 　　∴AC=AB=600，∴ h=600 tan30°=200 米. 　　评析：本题是解三角形的应用题，关键是理解测量中相关角概念，根据题意画出图形，弄清相应边角.注意出现等腰或直角三角形时要用特别方法处理，以减少计算量. 　　2.（2013年广州二模）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到 三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m， BC = 70m， CA=50m.假定A、B、C、O四点在同一平面内. 　　（1）求∠BAC的大小； （2）求点O到直线BC的距离. 　　解析：（1）在△ABC中，因为AB=80m， BC = 70m， CA=50m， 　　由余弦定理得cos∠BAC= …2分 　　= = .…………………………3分 　　因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC= . 　　………………………………………………4分 　　（2）因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，所以点O为△ABC外接圆的圆心.设外接圆的半径为R. …………………………………5分 　　方法1：在△ABC中，由正弦定理得 =2R， ……………7分 　　因为BC=70，由（1）知A= ，所以sinA= . 　　所以2R= = ，即R= . 　　过点O作边BC的垂线，垂足为D. ………9分 　　在△