数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第31课　平面向量的概念与线性运算Word版含解析.docxVIP

第31课　平面向量的概念与线性运算【自主学习】第31课 平面向量的概念与线性运算(本课时对应学生用书第85~86页)自主学习　回归教材1. (必修4P67练习4改编)化简：+++=　.【答案】0【解析】注意结果不是0，是零向量.2. (必修4P62习题5改编)判断下列四个命题：①若a∥b，则a=b；②若|a|=|b|，则a=b；③若|a||b|，则ab；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的个数是　.【答案】0【解析】对于①，a与b的长度可能不相同，故①错；对于②，a与b的模相等，但方向不一定相同，故②错；对于③，向量不能比较大小，故③错；对于④，若b=0，则a与c不一定平行，故④错.3. (必修4P57习题2改编)对于非零向量a，b，“a∥b”是“a+b=0”成立的　(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.【答案】必要不充分【解析】由a+b=0，可得a=-b，即得a∥b，但a∥b，不一定有a=-b，所以“a∥b”是“a+b=0”成立的必要不充分条件.4. (必修4P60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF中，++=　.(第4题)【答案】【解析】因为=，所以++=++=.5. (必修4P68习题10改编)在△ABC中，若||=||=|-|，则△ABC的形状是　.【答案】等边三角形【解析】由-=，知三角形的三边相等，所以△ABC是等边三角形.1. 向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2. 几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的.(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.3. 向量的加法(1)运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是以公共点为起点的对角线所对应的向量.(2)运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，即由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量为和向量.4. 向量的减法将两个已知向量平移到公共起点，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点的向量.注意方向指向被减向量.5. 向量的数乘实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算.6. 两个向量共线定理向量b与非零向量a共线有且只有一个实数λ，使得b=λa.【要点导学】要点导学　各个击破　向量的线性运算例1　如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，N是对角线AC上的点，且=3，设=a，=b，试用a，b分别表示.(例1)【思维引导】观察图形中线段AM，MN与AB，AD的关系即可.【解答】因为M是BC的中点，所以==b，所以=+=a+b.因为=3，所以==(a+b)，所以=-=-a+b.【精要点评】正确运用向量的加法和减法是解答本题的关键.变式1　(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足=2，=.若=x+y，则x=　，y=　.【答案】　-【解析】=+=+=+(-)=-.变式2　(2015·南京二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=　.(变式2)【答案】【解析】因为O，E分别是AC，AO的中点，所以=+=+=+(-)=+.又=λ+μ=λ+μ(+)=(λ+μ)+μ，故λ+μ=.例2　如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线.(1)设=λ，试将用λ，，表示出来；(2)设=x，=y，求证：+为定值.(例2)【解答】(1)=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.(2)由(1)知=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy，因为G是△OAB的重心，所以==×(+)=+.因为，不共线，所以所以+=3(1-λ)+3λ=3，所以+为定值.变式　在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若=+μ，则实数μ的取值范围是　.【答案】【解析】由题意可求得AD=1，CD=，所以=2.因为点E在线段CD上，所以=λ(0≤λ≤1).因为=+，又=+μ=+2μ=+，所以=1，即μ=.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.　向量的平行和共线问题例3　已知非零向量a和b不共线.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线；(2)若ka+b和a+kb共线，求实数k的值.【思维引导】