实验二 插值与拟合.docVIP

计算方法课程实验报告 实验名称 插值与拟合 班级 动创新13 姓名 封敏丽 学号 201302400104 序号 教师 赵美玲 地点 数学实验中心 评分 实验目的 掌握多项式插值法的基本思路和步骤； 了解整体插值的局限性及分段插值的基本思想。 掌握最小二乘法拟合的基本原理和方法； 培养运用计算机模拟解决问题的能力。 二、用文字或图表记录实验过程和结果 3.4.1 多项式插值 1． 给定构造插值多项式计算。 编程实现拉格朗日插值，并计算结果。 function f=Language(x,y,x0) %求已知数据点的拉格朗日插值多项式 %已知数据点的x坐标向量: x %已知数据点的y坐标向量: y %插值点的x坐标: x0 %求得的拉格朗日插值多项式或在x0处的插值: f x=[11 12 13]; y=[0.190809 0.207912 0.224951]; x0=11.5; syms t l; if(length(x) == length(y)) n = length(x); else disp(x和y的维数不相等！); return; %检错 end h=sym(0); for (i=1:n) l=sym(y(i)); for(j=1:i-1) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; for(j=i+1:n) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end; h=h+l; end simplify(h); f = subs (h,t,x0);%计算插值点的函数值 f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数 end 运行结果如下： 所以=0.199368 通过对以上的程序修改可以得到插值函数： 将计算结果和查表结果进行比较。 查表的结果是sin11.5＝0.19936793441719718108604 由此可见，计算结果与查表的结果已经是什么相近了。 拉格朗日插值法的流程图如下： Y N N Y 2.区间作等距划分：，以（）为节点对函数进行插值逼近。（分别取） 用多项式插值对进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较。写出插值函数对的逼近程度与节点个数的关系，并分析 本题重点在于画图，所以使用相对而言绘图很方便的Mathmatic软件进行绘图： 先利用原函数取点，然后分别以步长为2,1,0.5，得到拟合函数,计算结果如下： 原函数图形： N=5时： N=10时： N=20时： 通过Show语句进行图形组合得到： 结果分析：高次插值稳定性差，而低次插值对于较大区间逼近精度又不够，而且，随着节点的加密，采用高次插值，插值函数两端会发生激烈震荡。解决这一矛盾的有效方法就是采用分段低次代数插值。 试用分段插值（任意选取）对进行逼近，在同一坐标下画出图形，观察分段插值函数对的逼近程度与节点个数的关系。 用Mathmatic进行分段插值表示不会，故而用Matlab对分段插值进行了运行结果如下： 结果分析：通过采用分段线性插值，发现随着节点数的增多，插值计算结果的误差越来越小，而且分段线性插值的计算简单，曲线连续和一致收敛，但是不具有光滑性。 3.4.2 数据拟合 1．已知一组数据如下，求它的线性拟合曲线。 1 2 3 4 5 4 4.5 6 8 8.5 编程实现最小二乘算法，并画出其拟合曲线 （2） 求出其平方误差。 本题第一小题和第二小题同时用Matlab运行时，我们可以先建立一个M文件，代码如下： N=input(please put in how many times the power will you overfit:); M=input(how many couples of statistics are there in the table:); %读入数据文件 S=[1 2 3 4 5;4 4.5 6 8 8.5], %显示数据文件，确保正确输入 disp(S(x,y)=); disp(S);