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第一讲 规划理论及模型 一、引言 最优化问题概述 最优化问题的定义 最优化问题的分类及处理方法 最优化模型的基本要素 最优化问题的定义 最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的问题，即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确定时使用最少的资源。 最优化问题的分类及处理方法 无条件最优化问题：求导法等 约束条件为等式的有约束条件的最优化问题：拉格朗日乘数法等 约束条件为不等式的有约束条件的最优化问题：数学规划 数学规划模型：目标规划（一个、多个）、动（静）态规划（与时间是否有关）、线性规划（整数规划、0-1规划）、非线性规划 最优化（规划）模型的基本要素 决策变量、目标函数和约束条件： 决策变量是问题中有待确定的未知因素。 目标函数是指对问题所追求的目标的数学描述。 约束条件是指实现问题目标的限制因素。 引例 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多？已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示 运用规划模型解决最优化问题的一般方法步骤如下：①前期分析：分析问题，找出要解决的目标，约束条件，并确立最优化的目标。②定义变量，建立最优化问题的数学模型，列出目标函数和约束条件。③针对建立的模型，选择合适的求解方法或数学软件。④编写程序，利用计算机求解。⑤对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。 二、线性规划模型 例： 某豆腐店用黄豆制作两种不同口感的豆腐出售。制作口感较鲜嫩的豆腐每千克需要0.3千克一级黄豆及0.5千克二级黄豆，售价10元；制作口感较厚实的豆腐每千克需要0.4千克一级黄豆及0.2千克二级黄豆，售价5元。现小店购入9千克一级黄豆和8千克二级黄豆。 问：应如何安排制作计划才能获得最大收益。 一、问题前期分析该问题是在不超出制作两种不同口感豆腐所需黄豆总量条件下合理安排制作计划，使得售出各种豆腐能获得最大收益。二、模型假设1．假设制作的豆腐能全部售出。2．假设豆腐售价无波动。 变量假设： 设计划制作口感鲜嫩和厚实的豆腐各x1千克和 x2千克，可获得收益R元。 目标函数：获得的总收益最大。 总收益可表示为：。。。 受一级黄豆数量限制：。。。 受二级黄豆数量限制：。。。 综上分析，得到该问题的线性规划模型： 运输问题（常见典型的线性规划问题） 例2. 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物 假设：①假设题目中所给运费已考虑各地间公里数；②只考虑运量和运费，不考虑车辆调拨等其它相关因素③不考虑车辆返空的费用（或：所给运费已包含车辆返空的费用）变量说明：xij:从第i城运往第j地的蔬菜数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4） 数学模型： 背包问题 例4. 有 n 个物品，编号为1, 2, …, n，第 i 件物品 指派问题 例5. 有n 项任务，由 n 个人来完成，每个人只能 DVD在线租赁第二个问题的求解 问题二的分析 问题二的模型及求解 1) 约束条件 两节车的装箱数不能超过需要装的件数，即： 每节车可装的长度不能超过车能提供的长度： 每节车可装的重量不超过车能够承受的重量： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对于C5, C6, C7类包装箱的总数的特别限制： 2) 目标函数 浪费的空间最小，即包装箱的总厚度最大： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3) 整数线性规划模型 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由上一步中的求解结果可以看出， 4) 模型求解 运用LINGO软件求解得到： 5) 最优解的分析说明 的装车方案，此时装箱的总长度为1019.7cm， 两节车共装箱的总长度为2039.4cm. 即为最优 但是，上述求解结果只是其中一种最优的 装车方案，即此答案并不唯一. Evaluat