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49 一元二次不等式 教材分析 一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系． 教学目标 1. 让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程． 2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法． 3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力． 任务分析 这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式．首先通过实例抽象出一元二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主要任务．然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系．学习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法． 教学设计 一、问题情境 1. 出示问题 （1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ（0，240），ｘＮ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ． 引导学生建立一元二次不等式模型： 由题意，得销售收入为25ｘ（万元）， 要使生产者不亏本，必须使 3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0． （2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定． 2. 引导学生建立一元二次不等式模型 设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R． 由题意，知70（100－10R）·R％≥112， 即R2－10R＋16≤0． 如何求解以上两个一元二次不等式呢？ 二、建立模型 1. 对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决 设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台． 运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝． 2. 教师明晰 设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0）， 首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ． （1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况． （2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）． （3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像． （4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集． 解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集． 根据上述内容，结合图像写出不等式的解集． 思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？ 三、解释应用 ［例　题］ 1. 解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0． 解：Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0， 方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2， 不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝． 2. 解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0． 3. 已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围． 解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R． （2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R． （3）当ｍ＞0时，须满足 ［练　习］ 1. 解下列不等式． （