《第十四章格林函数法.pptVIP

例14.4.3 在上半空间 内求解拉普拉斯方程的第一边值问题 【解】构建格林函数 满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * * 第十四章 格林函数法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一． 14.1 格林公式 上具有连续一阶导数, 在区域 及其边界 和 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理 (14.1.1) 单位时间内流体流过边界闭曲面S的流量 单位时间内V内各源头产生的流体的总量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 将对曲面 的积分化为体积分 (14.1.2) 以上用到公式 称上式为第一格林公式．同理有 (14.1.3) 上述两式相减得到 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 表示沿边界 的外法向偏导数． 称式（14.1.4）为第二格林公式． 进一步改写为 （14.1.4） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 14.2 泊松方程的格林函数法 讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题． 泊松方程 (14.2.1) 边值条件 （14.2.2） 是区域边界 上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题 (14.2.3) 表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数 1.格林函数的引入及其物理意义 引入：为了求解定解问题（14.2.3），我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （14.2.4） 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为 （14.2.4）式中 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便 格林函数的物理意义【2】：在物体内部（ 内） 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 格林函数互易定理： 因为格林函数 代表 处的脉冲（或点源）在 处所产生的影响（或所产生的场）, 所以它只能是距离 的函数, 故它应该遵守如下的互易定理： （14.2.5） 根据格林公式（14.1.4） 令 得到 （14.2.6） 即为 (14.2.7) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET