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第九章 多元函数微分法及其应用 习题9-1 多元函数的基本概念 （A） 一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ） 1.函数与表示同一个函数; 【 】 2.若对任意都成立,则 ; 【 】 3.设在点处连续,那么一定存在. 【 】 二、求下列各函数的定义域，并画出其定义域的草图: 1.; 2. ; 3.; 4.. 三、设 , 其中，且当时，. 试确定函数 和 . 四、设 求. 五、计算下列极限： 1. ; 2. ,其中; 3. . 六、证明不存在. （B） 七、设，证明: (1)沿任何直线有， (2) 不存在. 八、设 讨论在处的连续性. 习题9-2 偏导数 （A） 一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ） 1.若在()处的两个一阶偏导数都存在, 那么在() 处一定连续; 【 】 2.若在区域D内有二阶偏导数,则; 【 】 3.不但在点处连续,而且在处偏导数也存在. 【 】 二、计算下列各题： 1.设 求; 2. 设,求,; 3. 已知，求; 4.设，求; 5. 设求，; 6.设 求; 7. 设 求. 三、求曲线在点处的切线与轴正向的夹角. （B） 四、设 证明：函数在点处不连续，但存在. 习题9-3全微分 （A） 一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ） 1.若函数具有一阶连续的偏导数，那么一定可微; 【 】 2.对于，若，则在点处的全微分是零; 【 】 3.若在处可微,那么在处一定连续; 【 】 4.若在的某一个邻域有定义,且,则函数在(0,0)处可微的充要条件是. 【 】 二、计算题 1.求函数的全微分; 2. 求函数的全微分. 3. 求当时,函数全微分的值; 4. 求函数当时的全微分; （B） 三、设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm，内高为20cm ，内半径为4cm，求容器外壳体积的近似值. 四、利用全微分计算的近似值. 习题9-4 多元复合函数的求导法则 （A） 一、计算题： 1.设,求; 2.设, 求; 3. 设，求; 4. 设，求; 5. 设，其中具有连续偏导数，求; 6. 设，其中f是可导函数，验证：; 7. 设，且具有二阶导数 , 求; 8. 设其中具有二阶连续偏导数, 求，. 习题9-5 隐函数的求导公式 （A） 一、计算题 1. 设, 求; 2. 设, 求; 3. 设, 求; 4. 设, 其中可导，求; 5. 设, 求; （B） 二、 设是由方程组所确定的函数，求. 三、 设 求; 习题9-6 多元函数微分学的几何应用 （A） 一、求曲线在处的切线及法平面方程 . 二、求曲线在点的切线与法平面方程. 三、设曲线，求曲线上的点，使得曲线在该点的切线平行于平面. 四、求曲线在处的切线和法平面方程. 五、求曲面上点处的切平面方程. 六、在椭圆抛物面上求一点，使它的切平面与平面平行,并求该点的切平面和法线方程. （B） 七、证明曲面的切平面与坐标面所围的四面体的体积是常数. 习题9-7 方向导数与梯度 （A） 一、判断题（正确者打“√”,错误者打“×” ） 1.若的两个偏导数都存在,则它沿任意方向的方向导数都存在; 【 】 2.函数在点沿任意方向的方向导数都存在,在点一定连续; 【 】 3. 函数在可微,则在点沿任意方向的方向导数一定存在; 【 】 4. 若可微,那么向量的方向是u在( x,y,z )处变化率最大的方向. 【 】 二、计算题 1. 求在M (1,1)点沿方向的方向导数; 2. 求函数在点处沿A指向的方向导数; 3. 求在点处的梯度及其模; 4． 求函数在点(1,1,0)处的梯度及该点处沿l 的方向导数. （B） 四、设u,v都是x , y , z的函数,且u, v有一阶连续的偏导数,证明 (1) ; (2) . 五、问函数在点