重庆大学高数(工学下)期末试题八(含答案).docxVIP

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20— 20学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:10MATH04考试日期: 2015.1考试时间: 120 分钟题 号一二三四五六七八九十总 分得 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 二元函数在处可微的充分条件是 (A)在处连续 (B)在的某邻域内存在 (C) 当时,是无穷小 (D)知识点:二元函数可为微的定义；难度等级:1.答案: (D).2. 曲线在点处的法平面方程为(A) (B) (C) (D) 知识点:曲线的法平面；难度等级:1. 答案:(B).分析:法平面的法向量就是曲线的切向量所以法平面方程为:即 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).3. 设平面区域若 则(A) (B) (C) (D)不能比较知识点:二重积分的性质；难度等级:1.答案: (A).4. 设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧,则曲面积分　 (A) (B) (C) (D) 知识点:高斯公式；难度等级:2.答案:(D).5. 设在平面有界区域上具有二阶连续偏导数,且满足及 则 (A)最大值点和最小值点必定都在的内部 (B)最大值点和最小值点必定都在的边界上 (C)最大值点在的内部,最小值点在的边界上 (D)最小值点在的内部,最大值点在的边界上.知识点：多元函数极值判定定理；难度等级:1.答案:(B).6. 设则三重积分(A)4 (B) (C) (D)知识点：三重积分球坐标系下计算；难度等级:1. 答案:(C)二、填空题(每小题3分,共18分)1. 答案: 2. 其中知识点：第一型曲线积分；难度等级:1.答案: 3. 通解为的微分方程是知识点：二阶线性齐次微分方程；难度等级:2.答案: 4. 已知级数则参数的取值范围为知识点:无穷级数的敛散性难度等级: 2; 答案: 分析:故时收敛.5. 微分方程的一个特解为答案:知识点:二阶非齐次线性微分方程；难度等级:3.分析: 方程为二阶常系数非齐次微分方程,由系数关系式可得特解为 6. 已知曲线积在右半平面()内与路径无关,其中可微,则应满足的微分方程是知识点:曲线积分与路径无关的条件与一阶微分方程.；难度等级:2.答案:分析:由曲线积分与路径无关的条件 可得三、计算题(每小题6分,共24分)1. 求函数在点沿指向点的方向的方向导数.知识点：多元函数方向导数；难度等级:1. 解:函数在点处可微,且 而所以,故在点沿方向导数为: ++2．求直线绕轴旋转一周得到的曲面方程.知识点：空间解析几何；难度等级：2。分析 写出的参数方程，绕轴旋转，不变，且到轴的距离不变，即另外两个等式的平方后相加.解 直线的参数方程为 绕轴旋转一周得到的曲面方程为消去得到 .3. 计算其中是由及 所围成的立体域.知识点:三重积分计算；难度等级：1级。解: 所以 4. 计算其中是平面所围成的立方体的全表面的外侧.知识点:曲面积分,高斯公式,三重积分的直角坐标计算；难度等级:2, 分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用化为直角坐标的三次积分解:四、解答题(每小题6分,共12分)1. 将函数展成关于的幂级数. 知识点:将函数展开成幂级数；难度等级：1 。分析:要把此函数展开成幂级数,最好采用间接展开方法,首先用有理分式分解定理把原函数分解成简单分式之和,然后利用已知函数的幂级数展开式把各简单分式展开成幂级数再合并.解: () ()2. 在椭圆上求一点,使其到直线的距离最短.知识点:多元函数极值，拉格朗日乘数法；难度等级：2 。解:设为椭圆上任一点,则该点到直线的距离为令 于是得条件驻点: 依题意,椭圆到直线一定有最短距离存在,其中即为所求. 五、证明题(每小题6分,共12分)1. 设试证明是初值问题的解.知识点:常微分方程的解定义；难度等级:1。分析: 只需将函数代入微分方程就可证之.证: 满足初值条件.又由故也满足方程.2. 函数在上连续,且试证明知识点:二重积分计算；难度等级:2; 分析:将定积分乘积转化为二重积分问题证: 平面区域关于直线对称,六、应用题 (每小题8分,共16分)1. 求圆柱面在第一卦限中被平面所截下部分的面积.知识点:对面积的曲面积分,曲面面积,投影；难度等级2。分析:利用曲面的几何意义,注意选取投影面.解: 将投影到坐标面,曲面方程改写为2. 由曲线绕轴旋转得一曲面,求该曲面与平面所围成密度为常数的均匀立体的重心坐标.知识点:三重积分计算,重积分应用；难度等级:2; 分析: 求出旋转曲面方程,利用对称性简化所求,积分区域旋转体适用先二后一或柱坐标解:曲面的方程为设重心坐标为由对称性知 重心为 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学2014版试卷标准格式