2010年山东省初中教师远程研修数学课程简报 第五期.docVIP

目录 专家引领 概率与统计教学研究的背景资料 马 复 1．传统课程对概率与统计的关注不够——课程安排中或者没有设置、或者仅仅是一次性的几个课时；教学过程要么或者是法则型或者处方型的计算活动，要么是数学化地引入概率统计。于是，这个层次上的学生仍然持有他们先前的对随机现象所固有的观念和概念，而很难有机会改进他们的统计直觉。 事实上，对于随机现象（来自于欧洲的说法，包括概率和统计）的认识既有数学上的困难、也有理念和心理上的复杂性。 Garfield认为，影响概率与统计教学研究的主要因素包括：概率统计在课程结构中的作用；教学与研究之间的连接；数学教师的准备；目前评价学习的方法。 1．哲学方面的影响——唯理论与经验主义 前者如笛卡儿等，认为知识的获得是一种纯粹的推理过程——发现并演绎那些早已存在的绝对真理。知识就是演绎、就是揭示客观存在的真理，不是建立在感觉基础之上的。后者如洛克等，认为知识是建立在对事物的感觉、观察后做出的推断的基础上的。人们不能真正地认识事物，只能了解事物。即知识从感觉开始、然后归纳、建立理论。不同的认识论传统，导致了对随机现象的不同研究传统，而这些差异被带入相应的研究与教学之中，就可能产生在观念层面上的不同。 2．概率自身的发展：什么是可承认的依据？这一观念的发展对随机研究的影响是很明显的。“概率”常常被同时理解为“可信的程度”（经验的意义）和“随机事件发生的频率的稳定值”（统计的意义）。 这里就有两种观点：经典数学的——从某个起点（公理）出发，演绎出全部的结论。它是以事物的外在原因为依据，遵从“结论应当由一定的原因推导而来”，属于传统科学的“由‘初动因’推导出全部结论”的范畴；经验的——依据现实数据或样本实验，推出全部结论。它是以事物的内在原因为依据，即从许多类似的情形中得出归纳的依据，属于“看法”的范围；属于新型科学的“从所获得的信息中归纳出结论”的范畴。3．几个基本说法：古典概率——事件发生的每一个结果的可能性是相同的、事件发生的结果总数是有限的（等概率分布的随机模型）；事实上，“事件发生的结果总数是有限的”通常比较容易证明，而“事件发生的每一个结果的可能性是相同的”则难以证明（如无法证明：抛一枚硬币，落下后其正面或反面朝上的概率是相等的），它根本上就是一种感觉。 “大数定律”（当n越来越大时，白球出现的频率越来越接近它在盒中的比率）是其基础，但“大数定律”是一个经验规律。 频率概率——某一事件可以在相同条件下重复任意次（不要求事件发生具备等可能性，如“掷一枚不均匀的骰子”）。它是一种实用性定义，虽不确切，但合理。不同的人在做实验时，虽然可能得到不同的估计值，但那是“偶然性”所致，而非方法本身所致。主观概率——主体对事件发生可能性大小的数量判断。通常在各种“一次性事件”中使用较多。如：投资、火星上是否有生命、2006年1月1日北京是否会下雨等。 在许多情形下，“古典概率”与“频率概率”有比较一致的结论（掷硬币、掷骰子、转圆盘等），另一些问题，“频率概率”有明显优势（掷瓶盖、掷不均匀骰子等），事实上，模拟实验都依赖于“频率概率”。 4．对有关随机现象的问题，人们是如何思考的、怎样影响人们的思维；人们的错误通常产生于：对（原始）概念的误解、概率直觉（运用朴素统计观念估计事件发生的可能性）偏差、思维过程中的谬误、推理过程（在不确定情形中）的偏差。 概率直觉——对典型性和有效性的理解。 典型性： 认为一个样本既反映了总体的特征，又有一定的偶然性（作为一个独立的个体）。 在一个有着6个孩子的家庭里，孩子性别排列状况中的男、女、女、男、女、男似乎较男、男、男、男、男、男可能性更大。 忽视样本大小对典型性的影响：掷3枚硬币出现2枚“币值”朝上的可能性，和掷300枚硬币出现200枚“币值”朝上的可能性相同（事实上，极端情形——全出现“币值”朝上，在小样本时比大样本出现的可能性更大）。 否定最近的结果（赌徒谬论），理由是保持平衡：连续掷几次小点数，则下次很可能掷出大点数； 有效性：当人们估计某些自己认为很容易猜测的事件结果时，常常是运用了有效的直觉判断。而这一类判断经常由于个人经验的局限性、不同人见解的差异性等因素导致很大的偏差。 一些经典问题：Monty难题（汽车问题） 与下面这个问题很类似：一只瓶中有2个白球、2个黑球，从中依次取出两个球，且不放回第一只球，那么：若已知第一只球是白色的，第二只球也是白色的概率是多少（）？若已知第二只球是白色的，第一只球也是白色的概率是多少（）？（想象：先摸出的那只球不看，再显示第二只球是白色的，则第一只球是白色的概率就显然了） 一个袋子里有3张卡片，其中一张卡片两面都是绿颜色的，一张卡片两面都是蓝颜色的，第三张卡片