7.7常系数齐次线性微分方程概论.ppt

一、二阶常系数齐次线性微分方程定义 根据线性微分方程的解的结构定理，只要找出方程的两个线性无关的特解，即可得方程的通解.那么如何求出方程的两个线性无关的解呢？ 小结: 注：n阶常系数齐次线性方程解法 练习 例8 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 解的特征: 2) 有阻尼自由振动情况 小阻尼自由振动解的特征 : 大阻尼解的特征: 临界阻尼解的特征 : 五、思考与练习 备用题 * 7.7常系数齐次线性微分方程 * Content Layouts 三个按钮“解的特征”分别指向自定义放映: “小阻尼”,“大阻尼”,“临界阻尼”,放映完毕自动返回.若不能调用,则需要重新定义这些自定义放映,并重新连接.  二、二阶常系数齐次线性微分方程解法 三、内容小结 四、思考与练习 一、二阶常系数齐次线性微分方程定义 7.7常系数齐次线性微分方程 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 基本思路: 求解常系数齐次线性微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 二、二阶常系数齐次线性方程解法 当 为常数时，指数函数 导数都只相差一个常数因子，有可能满足方程. 为方程的解（ 将它代入方程，看是否 . 和它的各阶 故可设 能够求出其中的常数 是待定常数）， -----特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 说明： 1.有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次线性方程的通解为 特征根为 2.有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 , ) ( x x u = 取 3.有一对共轭复根 重新组合 得齐次线性方程的通解为 特征根为 注： 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 例2 求微分方程 解 所给微分方程的特征方程为： 其特征根 、 是两个不相等的实根，故原方程的通解为 的通解. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 例4 求解初值问题 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例5 例6 的通解. 解 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例7 解 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 . 0 ) 4 ( ) 5 ( = - y y 解方程 注： n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 解 特征方程: 特征根为 则方程通解 : . 0 2 ) 4 ( = + ￠ ￠ + y y y 解方程 解 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 因此定解问题为 由第六节例1 知, 位移满足 方程: 特征方程: 特征根: 利用初始条件得: 故所求特解: 方程通解: 简谐振动 A: 振幅, ? : 初相, 周期: 固有频率 (仅由系统特性确定) 方程: 特征方程: 特征根: 小阻尼: n k 这时需分如下三种情况进行讨论: 大阻尼: n k 临界阻尼: n = k 解的特征 解的特征 解的特征 由初始条件确定任意常数后变形 运动周期: 振幅: 衰减很快, 随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置. ( n k ) 1) 无振荡现象; 此图参数: 2) 对任何初始条件 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 2) 无振荡现象 ; 此图参数: 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表) 四、内容小结 求微分方程 的通解. 思考题解答 令 则 特征根 通解 * 7.7常系数齐次线性微分方程 Content Layouts 三个按钮“解的特征”分别指向自定义放映: “小阻尼”,“大阻尼”,“临界阻尼”,放映完毕自动返回.若不能调用,则需要重新定义这些自定义放映,并重新连接. * *