第三章数值积分课题.ppt

从例中可看到求解非线性方程组(5.2)较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程(5.2)求 xk 及 Ak (k＝0,1,… , n)． 例：求 的 2 点 Gauss 公式。 解：设 ，应有 3 次代数精度。 ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x 代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组，不易求解。 而从研究高斯点的基本特性来着手解决Gauss 求积公式的构造问题． 由插值型公式构造知,关键求xk， 一、高斯点的基本特性 证明： “?” x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： 0 = 0 ? “?” 要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1 的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明： 设 0 ? 　　　 x0 … xn 为 Gauss 点 ? 与任意次数不大于n 的多项式 P(x) （带权）正交。 定理 求 Gauss 点 ? 求w(x)的零点 ? Gauss 公式的余项： /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ 插值多项式的余项 Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ A：Hermite 多项式！ 满足 二、高斯求积公式的余项 三、高斯求积公式的稳定性与收敛性 定理6 高斯求积公式(5.1)的求积系数 Ak (k＝0,1,…,n) 全是正的． 由本定理及定理2，则得 推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的. 定理7 设 f (x)∈C [a，b]，则高斯求积公式(5.1)是收敛 的，即 ? 正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与?n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的?n+1，则?n+1的根就是 Gauss 点。 再解上例： ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 1：构造正交多项式?2 设 c bx x x a x x x + + = + = = 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( j j j ? ? 5 3 - = a 0 ) ( 1 0 = + ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 = j j ? ? = + + - ? = = + + ? = 1 0 2 1 1 0 2 1 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x j j j j 21 5 9 10 = - = c b 即： 四、常用的高斯型求积公式 Step 2：求?2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 解线性方程组，简单。 结果与前一方法相同： ? 利用此公式计算 的值 注：构造正交多项式也可以利用最小二乘数据拟合中介绍过的递推式进行。 ? 特殊正交多项式族： ① Legendre 多项式族： 1 ) ( ? x r 定义在[?1, 1]上， 满足： 由 有递推 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式。 ② Chebyshev 多项式族： 2 1 1 ) ( x x - = r 定义在[?1, 1]上， Tn+1 的根为 k = 0, …, n 以此为节点构造公式 称为 Gauss-Chebyshev 公式。 注意到积分端点 ?1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。 其它公式见教材p.144-148 注：一般[a,b]上的积分可化为[-1,1]上特殊高斯公式进行计算。 §5 数值微分 数值微分的概念 数值微分的计算方法 原始概念近似: