2010年《随机过程》课程试卷答案及评分标准.docVIP

北方工业大学 《随机过程》课程试卷答案及评分标准 2010年秋季学期 开课学院： 理学院 考试方式：闭卷 考试时间：100 分钟 班级 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总 分 得 分 阅卷人 一、（共20分） 设随机变量服从指数分布， 求（1）的特征函数；（2）利用特征函数计算的数学期望及方差。 解：（1） 5分 = 8分 == 10分 （2）由得 13分 16分 18分 20分 二、（共20分） 设随机过程,若与相互独立，均服从正态分布且均值为0、方差为，试求： （1）的均值函数及方差函数； （2）的一维概率密度函数； （3）的自相关函数及协方差函数。 解：（1） 2分 4分 8分 （2）是及的线性组合，服从正态分布 的一维概率密度函数为 12分 （3） 15分 18分 20分 三、（共20分） 设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某记数器，N (t)表示在[0, t)内到达计数器的粒子个数，试求 （1）在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数的概率分布； （2）在2分钟内至少有4个粒子到达计数器的概率； （3）； （4）。 解：（1） N (t)服从参数为4的齐次泊松过程，所求概率分布为 ………………………5分 （2）所求概率为 ……………….10分 （3） ……………15分 （4） …………………………20分 四、（共25分） 设有马尔可夫链，，一步转移概率矩阵为 （1）求两步转移概率矩阵；（2）画出概率转移图； （3）求； （4）求； （5）讨论各状态的常返性及周期性；是否存在平稳分布，若存在并求出。 解：（1）两步转移概率矩阵为 5分 （2）概率转移图略 10分 （3） 15分 （4） 18分 （5）该链的每一状态都可达另一状态，即：三个状态是相通的 由上图可计算得 所以，各状态是常返的 又，因而各状态是正常返、遍历的，存在平稳分布 22分 由 ， 得 ，，， 所以马氏链的平稳分布为 0 1 2 52/93 21/93 20/93 25分 五、（共15分） 已知随机过程,其中是广义平稳过程，且其自相关函数为 ?? ??????? 随机变量在上服从均匀分布，它与相互独立，证明是广义平稳的。 证明：由题意知 为常数，是二阶矩过程，且 4分 为二阶矩过程 8分 而 所以 是广义平稳的