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2008年11月3日 南京航空航天大学 理学院 数学系 第2章 一元函数微分学及其应用 第1节 导数的概念 第2节 求导基本法则 第3节 微分 第4节 微分中值定理及其应用 第5节 Taylor定理及其应用 第6节 函数性态的研究 第2节 求导基本法则 小结 例2 设 求 解 特别有: 解 规定 0 ! = 1 思考 例3 设 求 注意： 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例4 解 同理可得 例5 解 莱布尼兹（Leibniz）公式 2、高阶导数的运算法则 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 例6 解 例7. 设 求 解 即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令 得 由 得 即 由 得 常用高阶导数公式 间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 例8 解 例9 解 降幂 (1) 直接法——逐阶求导法 利用归纳法 (2) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (3) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解 解 练习 练习 证明 解 3.隐函数求导法则 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例1 解 解得 由方程 确定 , 解 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 ① 例2 设 解 例3 EX. 解 所求切线方程为 显然通过原点. 多个函数乘积的导数——对数求导法 对数求导法的步骤: 1. 两端取绝对值之后, 再取自然对数. 2. 等式两端分别对自变量求导. 例4 先对函数取对数, 得 解 再对上式两边分别求对数, 得 * * 1 函数的求导法则、 初等函数的求导问题 2 高阶导数 由参数方程 所确定的函数的求导法则 5 相关变化率问题 3 隐函数求导法 (定义 ) 求导法则 其它基本初等函数求导公式 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 1 函数的求导法则、初等函数的求导问题 定理2.1 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 ( C为常数 ) 和、差、积、商的求导法则 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 故结论成立. 例如, (2) 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) (3) 证: 设 则有 故结论成立. 推论: ( C为常数 ) 例1 求证 证 类似可证: 反函数求导法则 定理2.3 证 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 例2 求反三角函数及指数函数的导数. 解 1) 设 则 类似可求得 利用 , 则 2) 设 则 特别当 时, 小结 复合函数的链式法则 链式法则 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 证 在点 u 可导, 故 （当 时 ) 故有 例3 解 例4 解 例5 求下列导数: 解 (1) (2) 说明: 类似可得 例6 设 解 记 则 (反双曲正弦) 的反函数 初等函数的求导问题 由前面得到的基本初等函数的求导公式以及 运算法则，可以得到全体初等函数的导数 见课本102页 四则运算 复合函数 反函数 基本导数公式 （基本初等函数的导数公式） 幂指函数的导数 例7 求下列导数: 解 (1) EX 求下列函数的导数 6. 设 其中 可导, 求 1. 解: 解: 解: 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 5. 解: 6. 设 解: 其中 可导, 求 定义 若函数 的导数 可导, 或 即 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 则称 2 高阶导数 1、高阶导数的概念 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 依次类推 , 分别记作 设 求 解 依次类推 , 例1 思考 设 问 可得 直接法 --由高阶导数的定义逐步求高阶导数.