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* 例 10 讨论线性代数方程组 的解． 解 ： 利用例5的计算结果 按克拉默法则，方程组有惟一解． 此时 故 称自由项全为零的线性代数方程组AX= 0为齐次方程组（systems of homogeneous linear equations)． 从这个定理可得关于 n × n 齐次线性代数方程组的两个有用的推论． 推论 1 对于 n × n 齐次线性代数方程组 Ax = 0, 当 det A ≠ 0 时，只有一组零解（未知数全取零值 的解） 齐次方程组的零解也称为平凡解(trivial solution)， 推论 2 若 n × n 齐次线性代数方程组 Ax = 0 有 非零解，则必 det A ＝ 0． xi 不全为零的那种解为 非平凡解 而称各个 (non-trivial solution) 或 非零解． 解 由题意可知，该方程组的系数行列式必为零，即 从而k = 0或k = 2. * 有非零解？ 思考题 问 取何值时，齐次方程组 解 * 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 教材24页第5行前后的话是何意?现看一例: 命题:对n阶矩阵,若 则必 . 证 首先想到恒等式 ,按列分块,成 即得 即 均为齐次方程组 的解. 若 ,则 从而 若有某列 ,则因齐次方程组有非平凡解而知系数行列式为零.证毕. * 用克拉默法则解一个 n×n 线性代数方程组, 影响克拉默法则的重要性及其理论价值． 需要计算 (n +1) 个 n 阶行列式， 一般地讲，其计 算量大大超过 G-J 消元法的计算量． 但这毫不 例 11 在平面上给出不共线的三个点 Pi ( xi , y i ) i =1, 2, 3, 且 x1 , x2 , x3 互不相同， 的一条抛物线，要求其对称轴平行于 y 轴． 求通过这三点 解 ： 对称轴平行于 y 轴的抛物线方程可设为 因要求点 Pi 在抛物线上， 程应成为等式， 故将其坐标代入方 这样共有四个式子： 把它看成有非平凡解 a , b , c , ( -1) 的 4 元齐次线性代数方程组， 而知必有 这就是所要的抛物线方程， 的系数均不为零． 所给条件保证 了在此行列式按第 1 行的展开式中，y 以及 x2 3.4 n阶行列式计算的例 例 12 对 2n 阶矩阵 试计算 |A2n |＝ det A2n ． 提示：建立递推关系再行求解. 解 ： 可以看出 对 detA2n ，按第 1 行展开，有 对两个 (2n －1) 阶行列式各按最后一行展开， 这是一个递推公式，顺次用 n, (n －1) , … , 2 代入， 可得 (n －1) 个等式： 得 例 13 对 n 阶矩阵 试计算| An |＝ det An ． 解 ： |An| 到第1列 各列加 第 1 行 各行减 例： 箭形行列式 目标：把第一列化为 就成为三角形行列式. 例 14：计算行列式 解： 例15 范德蒙德(Vandermonde)行列式定义为 * * 这样就得到了一个递推公式，反复使用该递推公式，可得 解 解 附:几个计算及证明的例 1. 方程 2.证明: 3.计算行列式:已知abcd=1,求 解 进一步利用性质并善用条件,有 于是,得 .（算一个表达式时可关注这种简化的可能性，如8页练9即教材192页14的（2）可不必具体算出系数行列式）。 按定义直接计算;利用性质简化;发现特点（观察，试算 等）,寻找方法.更要注意具体条件的利用(如不为零,等于零及1或 ….) 4.计算 解 5. 设3阶矩阵 试证等式…. 证 例 已知 试证 均可逆. 利用这亇零,及已知性质,有 例 设 试求 。 例 6 计算 解 ： 依次把第 4、3、2 行各减去其上一行， D r34 (