ch3-3 不定积分的换元法.pptVIP

2008年12月5日 南京航空航天大学 理学院 数学系 第3章 一元函数积分学及其应用 基本思路 1. 换元法则(I)----第一类换元法 例1 求 例2 求 例3 求 例5 求 常用的几种配元形式: 例6. 求 例6. 求 例8. 求 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 小结: 说明： 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令 或 令 或 令 或 (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 （8）万能代换 令 （万能代换公式） 使用范围： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为 如， 例16 求积分 解 由万能代换公式 2. 常用基本积分公式的补充 思考与练习 1. 下列各题求积方法有何不同? 2. 练习 1. 解: 令 则 原式 2. 解 原式 = 前式令 ; 后式配元 3.2 分部积分法 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 问题 例1 求下列不定积分 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 解 （再次使用分部积分法） 降幂法 注意：降幂法适合应用于如下积分类型 为一n次多项式 例2 求下列不定积分 解 令 解 升幂法 注意：升幂法适合应用于如下积分类型 为一n次多项式 例3 求下列不定积分 解 循环法 解 EX 求下列不定积分 注意：循环法适合应用于如下积分类型 例4 求下列不定积分 解 递推法 解 两边同时对 求导, 得 内容小结 分部积分公式 1. 使用原则 : 易求出, 易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环法; 递推法 降幂法; 升幂法; 第3节 两种基本积分法(续） 3.1(续） 定积分换元积分法 3.2（续） 定积分分部积分法 不定积分 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定理3.3 设函数 作代换 满足: 3) 则 1) 3.1（续） 定积分换元积分法 证明 * 第1节 定积分的概念，存在条件与性质 第2节 微积分基本公式与基本定理 第3节 两种基本积分法 第4节 定积分的应用 第5节 反常积分 第6节 几类简单的微分方程 第3节 两种基本积分法 3.1 换元积分法 3.2 分部积分法 3.3 初等函数的积分法 换元法则(II） 换元法则(I) 设 可导, 则有 3.1 换元积分法 定理3.1 则有换元 公式 (也称配元法 即 , 凑微分法) 说明 使用此公式的关键在于将 化为 第一类换元法解决的问题 难求 易求 解: 令 则 故 原式 = 注 当 时 解 ∴ 原式 = 解: 令 则 想到公式 解 想到 解: (直接配元) 以下是最基本且经常会遇到的结果: 例4 求 解（一） 解（二） 解（三） 观察重点不同，所得结论不同. 解 类似 万能凑幂法 解: 原式 = 解: 原式 = 例7. 求 解: 原式 = 解法1 解法2 两法结果一样 例9 求 解法1 解法 2 同样可证 (P196 例3.4 ) 原式 提示: 2. 换元法则(II)----第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 定理3.2 设 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证: 令 则 则有换元公式 例10 求 解: 令 则 ∴ 原式 例11 求 解: 令 则 ∴ 原式 例12. 求 解: 令 则 ∴ 原式 令 于是 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明(2) 被积函数含有 时, 除采用 采用双曲代换 消去根式 , 所得结果一致 . 或 或 三角代换外, 还可利用公式 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例13 求 令 解 例14 求 解 令 （分母的阶较高） 说明(4) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的最小公倍数） 例15 求 解 令