基于高层次数学认知的课堂实录研究.docVIP

基于高层次数学认知的课堂实录研究摘 要： 无论是国内的青浦实验还是国外的许多研究，都体现了我国中学生对高层次数学认知的缺失，因此，作者通过对九年级《反证法》的一节课的具体研究，分析目前课堂教学中各层次数学任务的所占比例及落实情况，对如何在课堂教学中提高学生的数学认知水平提出具体建议。关键词： 高层次 数学认知 课堂教学在目前的数学教育中，人们普遍认为中国学生善于解决常规问题，而不善于解决非常规、开放性问题，这一观点在国内外多项研究中都得到了验证。顾泠沅教授组织的青浦实验在1990年和2007年分别对八年级学生的数学认知水平进行了大样本的测试。这两次测试的结果表明，学生在“计算”、“概念”、“领会”水平上已经取得了较大的突破，但是在“分析”水平上，不但几乎没有任何进步，反而还有倒退的迹象。解决非常规、开放性问题和顾泠沅教授所划分的“分析”水平，均属于高层次数学认知。因此，什么是高认知层次数学任务，以及如何在课堂教学提高学生高水平数学认知亟待解决。对此，鲍建生等人根据青浦实验小组的数学认知水平分析框架，认为“分析”水平应包括以下五点高认知层次数学任务：（1）发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；（2）解决非常规的和开放性的数学问题；（3）提出猜想与构造模型：分析条件和结论间主要关系或重点步骤，形成假设或初步的数学模型；（4）特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；（5）数学推理与证明：用数学语言形成结论并给出严格的证明。本文将以此为框架，对一节具体的九年级数学课进行课堂实录研究。1.《反证法》内容及教材分析本节课是华东师范大学版初中九年级教材下册29.2节《反证法》，在教学中，学生需要体会反证法的含义，掌握反证法的步骤与综合法的根本区别，并且能用反证法证明一些较简单的命题。反证法是一种常用的数学证明方法，但是，对九年级学生来说，反证法需要较高的数学思维水平，且反证法是他们从来没有接触过的证明方法，因此让学生理解反证法的含义和掌握证明步骤成为本节课的教学重点。同时，寻找问题的反面是本节课的难点。2.教学过程分析表1 各数学任务用时分布情况表本节课包括：情境引入、方法形成、反证法证明过程的分解练习、例题、练习、扩展练习、总结7个部分，将每个部分细化，与上述框架对应，笔者发现，本节课教师对其中四点落实较好，但较少涉及解决非常规和开放性的数学问题。具体过程如上表：2.1形成并发现合适的数学问题。这节课在情境引入和方法形成的第一步中，教师帮助学生形成并发现合适的数学问题。首先，引入课题的是两个现实生活中的情境，这两个问题用反证法更容易解释得清楚，但教师直接让学生解释，在学生解释不清的时候，再提示学生从结论的反面入手。这样的做法给了学生充足的思考时间，这就帮助学生发现并形成合适的数学问题，即，什么样的问题需要用反证法证明？反证法的好处是什么？怎么用反证法证明？在方法形成的第一步中，教师同样做到了引导学生发现和形成数学问题，请看第一步的教学实录：师：我们看一个具体的数学问题。在一个△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.这个命题是真命题吗？生：是。师：这是什么？生：勾股定理。师：这就是我们熟悉的勾股定理。接下来教师把他改一改我把刚才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，这是真命题吗？生：是。（回答人数不多，学生有些犹豫。）师：是。为什么呢？师：思考一下，这个问题很难直接回答，那我们是不是也可以从它的反面来讲一讲。想想看我们这个命题是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？生：a■+b■=c■.师：那么我假设a■+b■=c■，你会得到一个什么结果？生：∠C=90°.师：为什么会得到∠C=90°呢？生：因为勾股定理的逆定理。师：也就是说因为勾股定理的逆定理知道这是一个直角三角形，因为C是斜边，所以∠C=90°。这与已知条件中∠C≠90°矛盾。一旦出现矛盾，说明假设还成立吗？生：不成立。师：那么就是导致了a■+b■=c■这个命题不成立，也就是a■+b■≠c■，这个命题是一个真命题。这个过程中，教师一直在引导学生，给出提示，让学生自己说出结果。虽然处理方法与情境引入相似，但情境引入是两个生活实例，而这个问题是一个纯粹的数学问题。如果在情境引入中教师能启发学生发现并形成数学问题，那么在这个问题中，教师希望学生自己能发现这个问题与情境引入中问题的相似，从而自己发现问题中包含的数学要素、关系和结构，形成数学问题。2.2解决非常规和开放性的数学问题。在本节课的最后，进行完例题与习题的讲解，教师给出了一个有趣的问题，如下：讨论问题：有A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A