高等数学定积分部分练习.docxVIP

高等数学定积分部分典型类型积分上(下)限函数的求导求此类导数的基本方法是运用变上限函数的求导公式[]’=f(x)。再结合复合函数求导公式。例：设F（x）=dt，求F’().解：这里积分上限是x的函数。令u=,根据复合函数求导法则，有F’(x)=F’(u)u’(x)=()’2x =2x=2,所以F’()==特别提醒：本题的自变量是上限x，不是积分变量t。练习：f(x)=, 求f(x).求关于积分形式商的极限此类极限通常以两项商的形式出现，一般为型或型的极限，基本方法是用罗必达法则，借助变上限函数的求导来解决。练习：求极限.用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分例：求积分dx的结果依据x的取值而定；所以dx=++=.特别提醒：应用公式时应验证函数的连续性。练习：求下列定积分：（1） (2)4.换元积分法在定积分不能用直接法求出时，可以考虑用代换的方式，将计分转换为一个新的积分变量的积分；例：求：;解：注意到(arctanx)’=所以将积分变量换成arctanx，故原式变为=练习：求下列定积分（1）; (2) (3)5.分部积分法例：计算解：= =()- = =练习：计算定积分：（1）; (2)6.证明关于定积分的等式练习：（1）证明=(2)设f(x)为连续函数，证明=7.证明有关定积分的命题练习：设f(x)在（-）上连续，F（x）=.证明若f(x)是偶函数，则F（x）也是偶函数。若f(x)单调不增，则F(x)单调不减。附：某些特殊定积分公式：The1: =（这一步的推导思路：t=0+)当n为偶数 =当n为奇数 =The2: IF：f(x)的定义域（a,b） THEN：The3: IF：函数f(x)为周期为t 的周期函数,且x=0为某个周期的起点 THEN：参考答案：练习题：1.f’(x)=2xsinx4-sinx2 2.2 3.(1)- (2) 4.(1)2() (2)2-(3) 5.(1)1 (2)4 6就不告诉你. 7.见题六定积分部分习题求下列函数的定积分(1) (2) (3)(4) (5) (7)(8) (9) (10)(11)2.f(x)=求3.求I=4.设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且2=,证明在（0，1）内存在点，使f’()=0.（注：利用积分中值定理，零点存在定理）5.计算定积分： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7 (8) ( (10) (11) (12)6.求由双纽线所围成且在=内部图形的面积。7.求摆线,(0)与y=0所围成的平面图形绕y=2a旋转所得的旋转体的体积。8.求曲线相当于的一段弧长。9.设有长度为l,线密度为的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为a单位处有一个质点M，求这细棒对质点M的引力。