35正方形的性质与判定2(2011年).docVIP

1. (2011 福建省福州市) 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交于点，垂足为． （1）如图1，连接．求证四边形为菱形，并求的长； （2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点停止，点自停止．在运动过程中， 已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 若点的运动路程分别为（单位：，），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 答案： （1）证明：四边形是矩形 垂直平分，垂足为 四边形为平行四边形 又 四边形为菱形 设菱形的边长，则 在中， 由勾股定理得，解得 （2）显然当点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理当点在上时，点在或上，此时也不能构成平行四边形；因此只有当点在上、点在上，才能构成平行四边形． 以四点为顶点的四边形是平行四边形时， 点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒 解得 以四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． 由题意得，以四点为顶点的四边形是平行四边形时，点在互相平行的对应边上． 分三种情况： 如图1，当点在上、点在上时，，即，得 如图2，当点在上、点在上时，，即，得 如图3，当点在上、点在上时，，即，得 综上所述，与满足的数量关系式是 20110810142057781578 3.5 正方形的性质与判定 开放题 解决问题 2011-08-10 2. (2011 江苏省南京市) 如图，菱形的边长是2cm，是的中点，且，则菱形的面积为_________． 答案：2 20110815142158062356 3.5 正方形的性质与判定 填空题 基础知识 2011-08-15 3. (2011 江苏省南京市) 如图，将的边延长到点，使，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 答案：证明：（1）四边形是平行四边形，． ． 在和中， ． （2）解法一：，四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形， 又 是矩形． 解法二：四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形， 又 ． 又即． 是矩形． 20110815142158734442 3.5 正方形的性质与判定 证明题 双基简单应用 2011-08-15 4. (2011 江苏省宿迁市) 如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为边上一动点，设≤≤，线段的垂直平分线分别交边、于点、，过作于点，过作于点． （1）当时，求证：△△； （2）顺次连接、、、，设四边形的面积为，求出与自变量之间的函数关系式，并求的最小值． 答案：（1）证明：如图， 因为是正方形，所以， 又因为，所以是矩形，所以． 同理可证，， 所以． 设与交于点， 因为， 所以， , 所以． 因为, 所以△△． （2）解法一：由（1）知，△△，所以， 因为，，所以． 在中，由勾股定理，得， 因为，且， 所以， 又因为，所以当时，有最小值．　 解法二：由（1）知，△△，所以。 不妨设、，， 则，又， 所以。 因为，， ，， 所以， 又因为, 因此， 又因为，所以当时，有最小值．　 20110815155405718842 3.5 正方形的性质与判定 基础知识 2011-08-15 5. (2011 江苏省徐州市) 如图，将边长为的正方形沿对角线平移，使点移至线段的中点处，得新正方形，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（　　） Ａ．　　B．　　C．1　　D． 答案：B　 20110815170021125866 3.5 正方形的性质与判定 选择题 基础知识 2011-08-15 6. (2011 江苏省徐州市) 如图，将矩形纸片按如下顺序进行折叠：对折、展开，得折痕（如图①）；沿折叠，使点落在上的点处（如图②）；展开，得折痕（如图③）；沿折叠，使点落在上的点处（如图④）；沿折叠（如图⑤）；展平，得折痕（如图⑥）． （1）求图②中的大小； （2）图⑥中的是正三角形吗？请说明理由． 答案：（1）法一：连接，由折叠知，是线段的对称轴. ∴又，∴ ∴是等边三角形．∴ 法二：由折叠知， 在中，∵ ∴即 法三：过作， 垂足为 中，∵ ∴ （2）根据题意，平分，∴ ∴ 由折叠知，是线段的对称轴. ∴