极 端 原 理1.docVIP

1．11 极 端 原 理 性质1 有限个数中一定有最大数和最小数； 性质2 无限个正整数中有最小数； 性质3 无限个实数不一定有最大数或最小数． 例1 平面上给定100个点，已知其中任意两点的距离不超过１，且任意三点所成的三角形是钝角三角形．证明：这100个点被一个半径为的圆覆盖． 证 在这100个点中，每两点有一个距离，这有限个数（个）中，一定有一个最大数（性质1），不妨设A，B两点间的距离最大（如果最大的距离不止一个，任取一个即可），以线段AB为直径作一个圆，由题设，，所以，此圆的半径． 在其余的98个点中任取一点C，因为，，又由题设知△ABC是钝角三角形，如图1所示，所以∠C一定是钝角，于是点C位于以AB为直径的圆内，也就是说这100个点都被这个圆所覆盖． 图1 例2 空间中给出了8个点，其中任意4个点都不在同一平面上，在它们之间连以17条线段．证明：这些线段至少形成了一个三角形． 证 每一个点都连出了若干条线段（至多为7条），不妨设连出线段数目最多的点为A，它共连出了n条线段． 如果所有17条线段都没有形成三角形，那么与A相连的n个点之间彼此都没有线段相连，而其余的（7－n）个点中，每一点所连出的线段条数不多于n条，因此，线段的总数目不超过 这与已知的有17条线段矛盾．从而命题成立． 　　说明 其实本题的结论可加强为“三角形的数目不少于4个”，这个问题较难，留给有兴趣的读者思考． 例3 设有个圆，其中任意3个圆都不两两相交（包括相切），求证：一定可以找到一个圆，它至多能与5个圆相交. 证 设这n个圆中半径最小的圆（如有多个，任取其中一个即可）为． 若与6个（或多于6个）的圆都相交，则连接，如图2所示，于是中至少有一个不大于，不妨设，连接，设的半径分别为，. 因为相交，故它们的连心距不超过两圆半径之和，即 ．同理. 又在中，，故在中必有一个大于等于. 设，则，即，所以与相交，从而两两相交，这与题设矛盾 例4 平面上有个点. 将他们用红、蓝两色染色. 设任何3个同色点不共线．求证：存在一个三角形使得 （1）它的三个顶点涂有相同颜色； （2）这三角形至少有一条边上不包含另一种颜色的点. 证 由于点数，且所有的点只染两种颜色，所以，至少有三点同色．因此，存在三个顶点同色的三角形． 我们在这些顶点同色的三角形中取一个面积最小的三角形．如果这个三角形的每一条边上都有一个另一种颜色的点，那么我们就找到了另一个三个顶点同色的三角形，而且，这个三角形具有更小的面积，这是不可能的． 因此题设的三角形一定存在． 说明 本题证明中使用了极端原理．我们考虑的是面积，是一种很好的想法，值得我们仔细体会． 例5 证明：不定方程没有正整数解(x，y，z) . 证 用反证法．假设方程有正整数解，设是所有正整数解中使x最小的一组解．由于 ， 所以，是偶数，故是偶数．设，则 ， 即 ， 故是偶数．设，则 ， 即 ， 故是偶数．设，则 ， 即 ， 所以，也是原方程的一组正整数解，且，矛盾. 所以，原方程没有正整数解. 例6 设正整数a，b，k满足，求证：k＝5． 证 对每一个满足上述方程的k，设是满足，且最小的一组a，b，不妨设． 若，则 ， 由于，故k不是整数． 若，关于a的一元二次方程 的一个根为，由韦达定理知，另一个根是正整数，于是，由最小的性知，，于是 ， 故 ． 当时，，所以，或者2，从而k＝5． 当时，有 ， 所以 ， 这不可能． 综上所述，k＝5． 例7 若干个人聚会，其中某些人彼此认识，已知如果某两人在聚会者中有相同数目的熟人，那么他俩便没有共同的熟人．证明：若聚会者中有人至少有2010个熟人，则必然也有人恰好有2010个熟人． 证 我们考虑（聚会者中）熟人最多的某个人（如果这样的人不止一个，那么任取其中一个），记为A，设A共认识n个人，这些熟人依次记为． 由于中任意两个人与都认识A，即是他俩的共同熟人，因此（由题设推出）与的熟人数目不等．此外，的熟人数目均不会超过n（这里用到了n的“最大性”！），于是他们的熟人数目恰好是 1，2，…，n． 现在已知有人至少认识2010人，这意味着n ≥2010，所以，数2010在上述数列中出现，于是中恰好有人有2010个熟人． 1． 给定平面上不全在一条直线上?的n个点，则必有一条直线恰好通过这n个点中的两个点． 2．在一次乒乓球循环赛中，n(n≥3)名选手中没有全胜的．证明：一