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* 微积分学(一) 一元微积分学 函数展开为幂级数 授课教师 孙学峰 ● 高校理科通识教育平台数学课程 一、幂级数的解析运算 三、函数展开为幂级数 四、函数展开为幂级数应用举例 函数展开为幂级数 二、泰勒级数 1 幂级数的和函数在其收敛区间内是连续的 在收敛区间端点处是指和函数的左、右连续性. 一、幂级数的解析性质 幂级数的解析性质 2 幂级数在其收敛区间内具有逐项可积性 在幂级数的收敛区间内, 其和函数连续, 故幂级数的和函数在收敛区间内可积, 当然, 幂级数也在其收敛区间内可积. 逐项积分得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但端点处的敛散性可能改变. 幂级数的解析性质 3 幂级数在其收敛区间内具有逐项可导性 逐项求导得到的新幂级数与原幂级数具有 相同的收敛半径, 但要注意：由于常数的导数 为零, 故有些幂级数在求导后要改变下标的起 始值 . 首项为 x , 公比为 x . 例1 解 符合积分要求了 分析 例2 等比级数 例2 解 例3 解 由幂级数在其收敛区间内的逐项可导性, 得 请自己完成 例3 分析 在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新的幂级数, 且它与原幂级 数具有相同的收敛半径 . 如有必要,可对它连 续进行逐项求导和逐项积分. 就是说, 在收敛区间内幂级数的和函数具 有任意阶的导数及任意次的可积性. 幂级数的性质多好啊 ！ 如何将函数表示为幂级数? 怎么做？ 二、泰勒级数 将函数展开为幂级数得的问题是否 就是将函数展开为泰勒级数的问题? 一个幂级数在其收敛区间内代 表一个函数, 即它的和函数: 任意一个函数能否在某一个区间内表示为 某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有 工程需要 泰勒公式 问题 定理 证 由定理的条件可知, 且其和函数 于是有 由数学归纳法, 得 该定理说明, 幂级数的和函数, 则该幂级数一定是下列形式: 定理和定义给我们提供了什么信息 ? 定义 定理和定义告诉我们： 处有任意阶导数, 则它 就有一个相应的泰勒级数存在. 但此泰勒级数不一定收敛, 即算收敛, 其和函数也不一定等于 就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的. 内可表示为幂级数的形式, 则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数. 问 题 回忆泰勒中值定理的构建过程 由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ? 定理 证 余下的工作由学生自己完成. 推 论 证 （提示） 自己做! 马克劳林级数 就可写出它的泰勒级数. 但它的泰勒级数不一 定收敛, 只有当拉格朗日余项 时, 泰勒级数才收敛于 一个函数如果能够展开为幂级数形式, 则 该幂级数一定是它的泰勒级数, 且这种展开是 唯一的. 即使收敛,其和函数 三、函数展开为幂级数 函数展开 为幂级数 直接展开法 间接展开法 *