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33旋转曲面
* §3 旋转曲面 定义3.1 在空间, 一条曲线C, 绕定直线 旋转, 所产生的曲面, 称为旋转曲面. 曲线C 定直线 母线上任意一点 形成一个圆, 称为纬圆. 过轴 的半平面 与旋转曲面的交线 称为经线. 旋转一周后, 经线为平面曲线, 可以作为母线; 反之,母线C 可以是空间曲线. 称为旋转曲面的母线. 称为旋转曲面的轴. 设轴 的方程为 母线C的方程为 求旋转曲面S的方程. 旋转曲面S 使得 且 使得 消去 即得所求方程. 旋转轴 母线 例 绕直线 旋转 生成的旋转曲面的方程. 解 旋转曲面S 使得 且 为所求旋转曲面的方程. 求曲线 绕轴旋转一周产生. 经线 即经线 来产生旋转曲面. 经线为平面曲线, 可取经线所在的平面 为坐标平面, 旋转轴L为坐标轴. 旋转曲面也可由其 总可以作为最初的母线 取旋转轴为z轴, 为yoz平面 旋转曲面S 使得 且 为S的方程. 取经线所在的平面 绕z轴旋转一周, 如 绕z轴旋转一周, 所成旋转曲面的方程为 即 得曲面S 又如 此抛物线绕z轴旋转一周, 所成旋转曲面的方程为 即 称为旋转抛物面. 同理, yoz平面上的曲线 绕y轴旋转一周, 所成旋转曲面S S的方程为 xoz平面上的曲线 绕x轴旋转一周, 所成旋转曲面S S的方程为 xoy平面上的曲线 绕y轴旋转一周, 所成旋转曲面S S的方程为 坐标平面内的曲线C, 规律如下: 绕此坐标平面内的 坐标轴旋转时, 得到旋转曲面S, 为求S的方程, 只要将C 在此坐标平面内的方程, 保留与旋转轴 而以其它两个坐标 的平方和的平方根 代替方程中的另一个坐标 即可. 一条 同名的坐标, 例 C绕y轴旋转所成曲面 的方程为 即 C绕x轴旋转所成曲面 的方程为 即 *
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