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有限元 研究生专业课 第三章 有限元方法 本章内容安排 第9次： §3.1 两点边值问题的有限元方法 ——用Ritz法建立有限元方程 第10次：§3.1 两点边值问题的有限元方法 ——用Galerkin法建立有限元方程 第11次：§3.2 二维边值问题的有限元方法 ——三角剖分与分片插值 ——单元分析与总体合成 第12次：§3.2 二维边值问题的有限元方法 ——积分计算 ——有限元方程求解 §3.1 两点边值问题的有限元方法 3.1.1 用Ritz法建立有限元方程 1. 变分问题 2. 有限元近似 习题 3-1-1 3.1.2 用Galerkin法建立有限元方程 习题 3-1-2 §3.2 二维边值问题的有限元方法 3.2.1 三角剖分与分片插值 3.2.2 单元分析与总体合成 习题 3.2.1?3.2.2 3.2.3 积分计算 3.2.4 有限元方程求解 习题 3.2.3 ?3.2.4 第三章小结 考察安排 1 2 3 5 4 7 6 8 10 9 12 11 13 14 16 17 15 18 19 20 21 记 设e=?pipjpm 中三个顶点的编号ijm，在下式中 有 再将A(e)扩充为Np?Np的矩阵： 这样便有 而在下式中 将三维向量b(e)扩充为Np维向量： 则 对右式中 的A0 (e)、b0 (e) 作类似扩充，得到 也就是 一般称A(e)为三角单元e的单元刚度矩阵，b(e) 为三角形单元e的荷载向量； A0(e)为线元?n=?en? ?h(1)的线元刚度矩阵，b0(e)为线元?n=?en? ?h(1)的荷载向量，计算这些矩阵和向量的过程称为单元分析，它们可按如下方式计算出来： 把上述单元的刚度矩阵和荷载向量扩充为Np阶矩阵之后，作线性叠加 它们分别称为总刚度矩阵和总荷载向量，这个过程称为总体合成。于是，变分方程化为 化为：求u ?Vh，使得 （3.2.13） 几点说明： （1）根据 Vh={v?C(?h),v在每个单元上线性，v|?h(0) =0} Vh中的每一个函数，只要给出它在?h上的结点的值，它就完全确定。如果扣除属于?h(0)上的结点后共有N个结点，那么空间Vh和N维Euclid空间RN是线性同构的。所以在(3.2.13)中采用了u, v属于Vh的表示方法。 （2）由于边界条件 所以空间Vh中限定每一个函数v在?h(0)上为零，因此，在(3.2.13)中要求向量u和v对应?h(0)上的结点处的分量必须为零。 （3）总刚度矩阵是对称正定的。由A(e)、A0(e)的具体计算式可以看到,矩阵A(e)、A0(e)的是对称的,它们的和 也是对称的，根据问题的条件还可以证明其正定性。 一、如何将p390的二维边值问题转化为变分问题？其解空间V是如何选取的？ 二、为构造有限维空间Vh，如何进行三角剖分，有什么要求？ 三、在构造Vh的基时，可以通过插值的方法进行，得到一次、二次或更高次插值多项式作为基函数，那么一次多项式基函数是如何构造的？ 四、基函数构造出来后，是如何进行单元分析和总体合成的？ 五、通过单元分析与合成后，变分近似方程化成了什么形式的方程？ 其中K(e)=A(e)+ A0(e), f(e)=b(e) +b0(e) 。单元刚度矩阵A(e)、线性刚度矩阵A0(e)、单元荷载向量b(e)和线性元荷载向量b0(e)都是用积分表示的： 对于方程 关于这些积分的计算是有限元方法的重要问题。 为写出方程 给定单元 e=?pipjpm 后，首先计算： 再写出 这样就很容易求得A(e)中的BTB。这时A0(e)、b(e)、b0(e)中的向量N(x,y)=[Ni(x,y)，Nj(x,y)，Nm(x,y)]的计算还需要作进一步的讨论。 为讨论方便，设单元e的按三个逆时针方向排列的顶点为pi(x,y)，pj(x,y)，pm(x,y)。单元e的面积为 p Pm Pi Pj 且形状函数为： 在e=?pipjpm 中任取一点p(x,y)，则其中?i,?j , ?m的面积为 则有 可见向量 N(x,y)=[Ni(x,y)，Nj(x,y)，Nm(x,y)] 的三个分量有明显的几何意义。引入三个变量 p Pm Pi Pj p Pm Pi Pj 已知在单元e=?