固体力学2章（応力）-RockMechanicsLaboratory.docVIP

２.　力と応力 ２.１　力の平衡と内力 　いま、構造物が外力を受け、（力学的な）平衡状態を保っているものとする。（力）の平衡状態というのは、力の合力が０になって（静止して）いることを意味しており、次式が成り立つ。 　　　　　合力＝０ ここでは力が平衡状態にある場合しか扱わないことにする。この力の平衡条件を満たしている構造物では、その中にどのような閉じた領域をとった場合でも、その境界上では力の合力が０になっていなければならない。簡単な例で説明してみよう。 　いま、台に乗った境界Γを持つ物体Ωが外力Ｆを受けて平衡状態にあるものとする（図２.１ａ参照）。台は物体が剛体変位しないように変位を拘束する役目をしているが、この場合、物体は台から反力Ｒを受けている。そうすると、物体の境界Γにおける力の平衡条件は次のように表される。 　　　 Ｆ＋Ｒ＝０ (2.1) 　今度は、物体Ωの一部の領域Ω*を考えてみる。ただし、領域Ω*の境界Γ*の一部には、外力Ｆの着力点を含む境界が入っているものとする。この領域の境界（面）Γ*上では、次の式で表される力の平衡条件を満たすために、外力Ｆに対抗して力（Ｒ1、Ｒ2、Ｒ3??）が発生しているはずである（図ｂ）。 　　 　Ｆ＋Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3??＝０ 力（Ｒ1、Ｒ2、Ｒ3??）は、領域の内部に分布しているので、（外力と区別して）内力と呼ぶ。この内力の大きさや作用方向については（現時点では知識が足りないために）、具体的に評価することはできないが、構造物の中には、外力に対抗して至る所で内力が発生していることは理解されよう。 ２.２　応力の定義と２つの応力成分 ２.２.１　応力の定義 　構造物の内部に分布している内力の大きさ?状態を表すには、内力そのものよりも、次に導入する「応力（stress）」という量の方が、ずっと便利で優れている。 　応力は次のように定義される。外力を受けて平衡状態にある物体Ω内の任意の微小な面δSに発生している内力をδRとしたとき、 　　　 δR/δS (2.2) を応力という（図２.２b）。 ２.２.２　ある点の応力 構造物の中に分布する内力はしばしば激しく変化している。そういった場所でも応力を正確に表現できるように、内力の作用する面δSは十分小さく取った方がよい。 いま、ある点Ｐを内部に含む一つの面δSを考え、このときδSに作用する内力をδRとする。次に、面δSの中に点Ｐを内部に含むδSより小さな面δSを考える。δSはδS＜δSを満たしているが、δSに作用する内力δRは当然δRより小さい。つまりδR＜δRを満たす。このため、 δR/δS の値は、δR/δS と大差ない。例えば、もし、内力が均一に作用していれば、 δR＝δR（δS/δS）したがって、 δR/δS＝δR/δS このために、考える面δSを小さくしていっても、応力の値は一般には発散せず、一定の値に収束する。δSを十分に小さくしたときの応力を点Ｐにおける応力と呼ぶことにする。換言すれば、ある「点」の応力を改めて表現すれば次のようになる。 　　　 lim (δR/δS) （δS→０） この面δSは向きを持っている。したがって、同じ場所でも向きが異なれば応力も異なってくる。力は作用点さえ指定すれば決まるが、応力は点と向きを指定してはじめて決まる。力は周知のように、数学的にベクトルと呼ばれる量であるが、応力はテンソルと呼ばれる量である。 ○ある点の応力が向きにより異なることの重要性：いま、0℃の大気中において棒状のチョコレートを軸方向に引張る。破面は軸に垂直になるであろう。このように特定の面が破面になる。破面の存在は、この面の応力が他の面の応力よりも破壊しやすいことを意味し、同じ点でも面が異なると応力も異なっていることが理解できるであろう。破面の向きや性状は破壊の機構を考える上で重要である。応力を使えば破面の解釈や予測が可能になることが理解できるであろう。 ２.２.３　２つの応力成分－直応力とせん断応力　 　構造物の境界Γでは外力Ｆや反力Ｒが分布している。この上で応力と同じような量、すなわち、δＲ/δＳやδＦ/δＳを定義することができる。これらは応力と区別して、表面力（traction）という。注意すべきは、このδＳは境界面の一部になっているので、任意の向きは持たない。この点が応力と異なる。 　内力δＲはベクトルなので、 内力の作用面δSに垂直な成分δＲnと平行な成分δＲsに分ける