固体力学6章（トラス）.docVIP

５　軸力を受ける棒とトラス構造（truss structure） ５.１　棒状部材と骨組構造体 断面に対して長さが十分に大きい棒状部材だけから成る構造物を骨組構造物という。棒状部材は、図５.１に示すように、軸力、せん断力、モーメントの３種の荷重に対して抵抗力を持っている。骨組構造体には次の２種類がある。 (1)トラス（truss）構造体 トラス構造体は棒状部材に軸力だけが作用するように、部材端どおしは摩擦のないヒンジで連結されている（図５.２）。トラス構造体の例として図５.３のような鉄橋が挙げられる。 (2)剛節構造物（ラーメン構造物） 剛節構造物は、上記の３種の荷重を受けることが想定された部材（このような部材を梁という）の組み合わせから構成され、部材端は一般に溶接されている。骨組構造物としては、剛節構造物の方が一般的である。 本章ではトラス構造体が外力を受けたときに生じる変形を計算する方法について学ぶ。なお構造体には各部材が弾性的に挙動するような外力しか作用しないものとする。 ５.２　軸力を受ける棒に生じる荷重と変位の関係 　図5.4に示すように、長さｌ、断面積A、ヤング率Ｅである棒部材が、その一端 ①で軸荷重Ｆ1、他端 ②でＦ2を受けており、①で軸変位ｕ１、②で軸変位ｕ２が生じているとき、軸荷重（Ｆ１、Ｆ２）と軸変位（ｕ１、ｕ２）の関係を求める。 　軸方向の直ひずみεは次式で表される相対的な軸変位により発生する。 　　　　　ε= (ｕ１－ｕ２) /l 直ひずみεに対応して軸応力σが生じ、それに断面積をかけたものが軸力になる。つまり、軸力Ｆは次のように表される。 　　　　　Ｆ=Aσ=AE（ｕ１－ｕ２）/ｌ したがって、①における荷重Ｆ１は次式で与えられる。 　　　　　Ｆ１＝　AE（ｕ１－ｕ２）/ｌ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5.1) この部材の軸方向の合力は０なのでＦ１＋Ｆ２＝０より、②における荷重Ｆ2が次式のように求まる。 　　　Ｆ２＝－AE（ｕ１－ｕ２）/ｌ (5.2) 以上をまとめると次式が得られる。 　　　　　Ｆ１＝　Ｋｕ１－Ｋｕ２ 　 Ｆ２＝－Ｋｕ１＋Ｋｕ２ (5.3) Ｋ＝(AE) /ｌ (5.4) (6.4)式をmatrixで表すと次のようになる。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5.5)　　　　　　　　　　　　　　　 上記の荷重－変位の関係は部材の剛性方程式と呼ばれる。 問題：①が固定されており、②に荷重Ｆが作用するときの変位を求めなさい。②が固定されており、①に荷重Ｆが作用するときの変位を求めなさい。 問題：棒の断面積Ａが長さ方向に変化する場合の荷重－（端面）変位を求めなさい。 解：棒の軸に一致させてｘ軸をとる。ｘにおける断面積をA(x)とする。このｘを含む微小長さ(xの領域を考えると、ここに作用する軸応力は荷重をＦとして 　　　　　σ＝Ｆ/A 対応するひずみεは 　　　　　ε＝σ/E 微小領域の変位(uは 　　(u＝ε(x＝Ｆ(x /(AE) 棒の長さをＬとすれば、（端面）変位uは 　 　　　u＝∫(u＝(Ｆ/E)∫1/A(x) (x ５.３　トラス構造体の解き方 　トラス構造体では構造体を構成する直線部材は変形後も直線を保つので、軸力、軸変位、軸応力、軸ひずみだけが重要である。構造体が所与の荷重を受けたときの各部材に生じる軸ひずみ、軸応力、部材端変位などは、次に述べることがらを利用することにより求めることができる。なお、部材端はしばしば節点と呼ばれる。 (1)力の釣り合い???ある節点に注目したとき、その節点に外力が作用していなければそこに接続している各部材に働く力の合力は０になる（２次元の場合、ｘ方向、y方向の合力とも０になる）。注目する節点に外力Fが作用していれば、各部材端に働く力の合力はFに等しい。 (2)適合条件???１つの節点に接続している各部材端の変位は同一（２次元の場合、x方向、y方向の変位成分とも同一）である。 (3)構造物が剛体変位を起こさないために、いくつかの節点は拘束された（変位が０になった）状態になっている。 (4)対称性があれば、対称軸に沿う節点では変位成分の１つまたは２つが０になっている。 (5)(1),(