高中数学必修一第一章专题总结(答案版).docVIP

必修一 第一章 一、规律方法总结1.在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”． 2．在集合运算中必须注意组成集合的元素及元素应具备的性质． 3．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之． 4．当集合中含有参数时，须对参数进行分类讨论，分类时要不重不漏． 5．函数相同的判定方法：定义域相同；对应关系相同(二者缺一不可)． 6．函数定义域的求法求函数的定义域，就是求函数解析式有意义的自变量的取值范围．列出不等式或不等式组求其解集，具体要求：(1)分式中分母不为零； (2)偶次根式中被开方数非负； (3)由实际问题确定的函数，其定义域要使实际问题不失去意义．7．求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)图象法：作出函数的图象，观察图象得到值域； (3)单调性法：利用函数的单调性求值域； (4)配方法：把函数配方，利用二次函数的性质求出值域；(5)换元法：通过换元，将所给函数化为易于求值域的函数；但要注意换元后新变量的取值范围； (6)分离常数法：多用于有理分式，即将有理分式变形，转化为“整式与反比例函数类和”的形式，便于求值域．8．函数单调性的判断步骤 (1)在区间内任取两个自变量的值x1，x2，并且规定其大小关系，如x1x2； (2)作差f(x1)－f(x2)，变形(配方，因式分解等)确定符号； (3)给出结论． 注意　求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间应是定义域的子集．当函数的单调区间不止一个时，中间不能用符号“”连接． 9．函数奇偶性的判断步骤 (1)先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； (2)若函数的定义域关于原点对称，再用奇偶性的定义严格判定. 　数 学 思 想1.数形结合的思想 【例1】　已知集合A＝{x|－2x4}，B＝{x|x－a0}． (1)若A∩B＝，求实数a的取值范围； (2)若AB，求实数a的取值范围． 【解】　A＝{x|－2x4}，B＝{x|xa}． 在数轴上将集合A表示出来，如下图所示，由图可知： (1)若A∩B＝，则a≤－2； (2)若AB，则a≥4. 【例2】　集合S＝{x|x≤10，且xN*}，AS，BS，且A∩B＝{4,5}，(SB)∩A＝{1,2,3}，(SA)∩(?SB)＝{6,7,8}，求集合A和B. 【解】　如上图所示，A∩B＝{4,5}，将4,5写在A∩B中．(?SB)∩A＝{1,2,3}，将1,2,3写在A中． (?SB)∩(?SA)＝{6,7,8}，将6,7,8写在S中A，B之外．(?SA)∩A与(SB)∩(?SA)中均无9,10，9,10在B中．故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}． 　2．分类讨论的思想 【例3】　已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若A中只有一个元素时，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 　【解】　(1)应根据a是否为0分两种情况进行讨论： a＝0，此时A＝，符合题意；a≠0，则必须且只需Δ＝4－4a＝0，即a＝1.a＝0，或a＝1. (2)A中至多有一个元素，也包括两种情形：A中有一个元素，由(1)知a＝0，或a＝1； A中没有元素，此时应有得a1.a的取值范围是a≥1，或a＝0. 　【例4】　设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x[t，t＋1]，tR)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式． 【解】　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1. 当t＋1≤1，即t≤0时，由下图知，截取减区间上的一段，g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1. 　当t≤1t＋1，即0t≤1时，恰巧将顶点截取在内，则g(t)＝f(1)＝1(见下图)． 　当t1时，由下图知，截取增区间上的一段，则 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知：g(t)＝ 　3．等价转化的思想 【例5】　已知f(x)＝x5＋ax3－bx－8，f(－2)＝10，求f(2)的值． 【解】　令g(x)＝x5＋ax3－bx，则g(x)是奇函数，此时g(－2)＝－g(2)，于是f(－2)＝g(－2)－8， g(－2)＝f(－2)＋8＝18.f(2)＝g(2)－8＝－g(－2)－8＝－18－8＝－26. 　【例6】　已知定义域为(－2,2)的奇函数y＝f(x)是增函数，且f(a－3)＋f(9－2a)0，求a的取值范围． 【解】　f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数，f(a－3)＋f(9－2a)0f(a－3)－f(9－2a)＝f(2a－9)． 又f(x)在(－2,2)上为增函数，??a5. ∴a的取值范围是(，5)．