10地面高数(上)练习题解答.docVIP

一、求下列极限 1、； 解二： 2、 解二： 3、 4、 解二： 5、 解一： 解二： 6、 解二： 7、 8、 9、 10、 11、。 二、求下列导数或微分 设，求 解二： 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 三、求下列积分 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、四、微分和积分的应用 1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点； + 0 - - 0 + - -6 - 0 + 6 + 极大 拐点 极小 在区间上递增；在区间上递减。在上是凸的；在上是凹的。点是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值。 （） + + + - 拐点 在区间上递增；在上是凸的；在上是凹的。点是函数的拐点 （3） + + 不存在 - 0 + + 0 - 不存在 + + 拐点 拐点极大 极小 在区间,上递增，在上递减；在区间，上是凹的；在上是凸的。点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值 2、求函数的极值 3、在区间上给定函数，任取，问取何值时，曲线、、及轴所围平面图形面积最大？ 所以当时所围面积最大。 4、求曲线与所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。 旋转所得体积为。 5、求曲线与以及轴所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。。 旋转所得体积为。 五、微分方程 求下列微分方程的通解： （1） （2）； （3） (4) (5) 解：（1）原方程的通解为： （2）原方程可变形为：所以通解为： （3）原方程可变形为：所以通解为： （4） （5）原方程的通解为： 22求下列微分方程的通解： （1） (2) （1） （2） 23、求的通解。 24、设函数连续，且满足，求。 解：所给方程两边求导得：，再次求导得且满足， 特征方程为，特征根为，所以其对应的齐次方程的通解为： 设方程的特解为带入整理得： 又，， 六、，证明 证明：设，则， 设，证明 证明：设，则， 设，证明 设在上连续，在内可导，且，证明：在开区间内至少存在一点，使得；设在上连续，在内可导，证明：在开区间内至少存在一点，使得。 设函数连续，且求 解： 又因为函数连续，且所以 设函数求的值，使在可导。 解：显然函数在连续，所以即 又函数在可导，所以，即，所以 所以当时，在可导。 8、设在上连续，，求证：存在,使得. 证明： 所以由积分中值定理知：存在使得：即： .