辽宁省沈阳二中高三数学函数全章课件：7二次函数与方程、不等式1.pptVIP

* 1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 一、二次函数的解析式 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标); 3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标); 　 注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式. 二、二次函数的图象 　　有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长. 三、二次函数的性质 　　1.当 a0 时, 抛物线开口向上, 函数在(-∞, - ]上单调递 减, 在[- , +∞)上单调递增, 当 x= - 时, f(x) 取得最小值, 为 　　 . 2a b 2a b 2a b 4a 4ac-b2 　　2.当 a0 时, 抛物线开口向下, 函数在(-∞, - ]上单调递 增, 在[- , +∞)上单调递减, 当 x= - 时, f(x) 取得最大值, 为 　　 . 2a b 2a b 2a b 4a 4ac-b2 四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在[m, n]上的最值 2.若 x0?[m, n], 则 (1)当 x0m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n); (2)当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m). 五、不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题 　　1.若 x0=- ∈[m, n], 则 f(x)min=f(x0)= , f(m), f(n) 中 的较大者即为 f(x) 在 [m, n] 上的最大值. 2a b 4a 4ac-b2 1. ax2+bx+c0在R上恒成立. ? a0 △=b2-4ac0, a=b=0 c0. 或　 ax2+bx+c0在R上恒成立. ? a0 △=b2-4ac0, a=b=0 c0. 或　 2. f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 [m, n] 上恒成立. ? f(m)0, - m 2a b △=b2-4ac0, m≤- ≤n 2a b 或 f(n)0. - n 2a b 或 ? f(x)min0(x∈[m, n]) f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 [m, n] 上恒成立. ? f(n)0. f(m)0 △0 △=0 △0 判别式 △=b2-4ac 六、二次函数与方程、不等式的关系　 o (a0)的图象 二次函数 y=ax2+bx+c x y x1 x2 x1=x2 x y o o x y (a0)的解集 ax2+bx+c0 {x | x1xx2} ? ? 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) 的根 有两相异实根 x1, x2 (x1x2) 没有实根 有两相等实根 x1=x2= - 2a b (a0)的解集 R ax2+bx+c0 {x | xx1 或 xx2} {x | x≠- } 2a b 七、典型例题　 　1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式. 解法一: 利用二次函数的一般式. 故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 4a+2b+c=-1, a-b+c=-1, =8. 4a 4ac-b2 a=-4, b=4, c=7. 解得　 解法二: 利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a(x-m)2+n, ∵f(2)=f(-1)=-1, ∴抛物线的对称轴为直线 x= , 1 2 ∴m= . 1 2 又 f(x) 的最大值是 8, ∴n=8. ∴f(x)=a(x - )2+8, 1 2 ∵f(2)=-1, ∴a(2 - )2+8=-1, 1 2 ∴a=-4. 故所求函数的解析式为f(x)=-4(x- )2+8=-4x2+4x+7. 1 2 解法三: 利用二次函数的两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 2 和 -1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1. 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又 f(x) 的最大值是 8, 4a 4a(-2a-1)-a2 ∴ =8, 解得 a=-4 或 a=0(舍去). 故所求函数的解析式为f(x)=-4