辽宁省沈阳二中高三数学函数全章课件：4、函数的值域.pptVIP

* 1.求函数值域的原则: （1）求函数值域应优先考虑定义域； （2）求复合函数值域时应“由内到外”. 2.基本初等函数值域是求复合函数值域基础. 基本初等函数是指： 一次函数； 二次函数（是重点）； 反比例函数； 指数函数；对数函数；幂函数； 三角函数； 3.求函数值域的常用方法： ①换元法； ②分离常数法； ③反函数法； ④利用函数单调性法； ⑤基本不等式； ⑥判别式法； ⑦图象法 ⑧导数法. 例1.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式. 解题分析:本题为“顶点动，区间定”的二次函数最值问题，只 须讨论顶点的移动情况与区间[0，1]的位置关系，便可确定最 值。 【解题回顾】含有参变数字母的二次函数的最值问题，主要体现在顶点的变化和区间的变化，当然还有抛物线的开口方向问题，当抛物线开口方向确定时，可能会出现三种情形： (1)顶点(对称轴)不动，而区间变化(移动)； (2)顶点(对称轴)可移动，而区间不动； (3)顶点(对称轴)和区间都可移动．无论哪种情形都结合图象、顶点(对称轴)与区间的位置关系对种种可能的情形进行讨论. 例1.设f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)，试求M(a)及m(a)的表达式. 例2．求下列函数的值域、最值： ① ② ③ 形如： 的函数可令 ，则 转化为关于t的二次函数求值。 形如含有 的结构的函数，可用三角换元令x=acosθ求解。 ①配方法:[2，4] ②换元法： ③三角换元法： 单调性: 练习、 求下列函数的值域:　 (1)若f(x)的值域为[　 ,　], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域. 4 9 3 8 7 8 7 9 [　 , 　] 例3．求下列函数的值域 ① ①反函数法或分离常数法： 形如： 可用反函数法或分离常数法求； 练习： 求下列函数的值域:　 2x+1 2x (1)y= ; sinx-3 (2)y= ; sinx+2 (0, 1) 3 2 [- , - ] 1 4 例4．求下列函数的值域 ① ② 形如 ：可转化为斜率或用三角函数有界性求解； 形如②的题目可转化为距离求解；。 变式：求下列函数的值域:　 (1)y=|x-1|+|x+4| ; (2)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ; (3) 若 x2+y2=1, 求 x+y 的取值范围;　 (4) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.　 [5, +∞) 1 2 [ , +∞) [2 5 , +∞) [- 2 , 2 ] 例5 求函数 y = 的值域.　 x2+x+1 x2-x 主要适用于形如 y = (a, d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零). ax2+bx+c dx2+ex+f (1)y=　　 ;　 x2+1 2x 例6 求下列函数的值域:　 (2)y= (x1) .　 x-1 x2-2x+5 [-1, 1] [4, +∞)　 能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域. 利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要注意满足条件“一正、二定、三等”. [1- , 1+ ] 2 3 3 2 3 3 练习：求下列函数的值域 ① ② 可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用均 值不等式法求值域，但要注意“=”问题；当“=”取不到 时，利用 的单调性，即在 上递减，在 上递增，来求值域。 ①均值不等式法： ②用 的单调性： 可导函数, 用导数性质求出函数的最值, 进而求得函数的值域. *