辽宁省沈阳二中高三数学函数全章课件：6、函数的奇偶性与周期性.pptVIP

* 　　1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 称 f(x) 为偶函数. 一、函数的奇偶性 　　2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 称 f(x) 为奇函数. 二、简单性质 研究半个区间！ 1.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称. 反之成立！ 2.单调性: 3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|). 3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数. 例: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数. 三、函数奇偶性的判定方法 1.根据定义判定: 　　首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数是非奇非偶函数; 若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x). 2.利用定理, 借助函数的图象判定: 3.性质法判定: 在公共定义域内, 两奇函数之积(商)为偶函数; 两偶函数之积(商)也为偶函数; 一奇一偶函数之积(商)为奇函数. (注意取商时分母不为零!) 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难, 可考虑判定 f(-x) ? f(x)=0 或判定 =?1. f(x) f(-x) 四、典型例题　 1.判断下列函数的奇偶性： 偶函数 奇函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数 (1) f(x)= ; 2x (1+2x)2 (2) f(x)=lg(x+ x2+1); (3) f(x)=log2( 1-x2 + x2-1 +1); (4) f(x)=(1-x) ; 1-x 1+x 奇函数 (5) f(x)= ; |x+3|-3 lg(1-x2) 偶函数 (6) f(x)=x( + ). 3x-1 1 1 2 【解题回顾】本题应先化简f(x)，再判断f(x)的奇偶性，若直接判断f(x)的奇偶性。 (8)已知 f(x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意的 a, b∈R 都满足: f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求 f(0), f(1) 的值; (2)判断 f(x) 的奇偶性, 并证明你的结论. f(-1)=0, f(-b)=-f(b), 奇函数 0,0 2.(1)设函数 f(x) 的定义域关于原点对称, 判断下列函数的奇偶性: ①F(x)= [f(x)+f(-x)]; ②G(x)= [f(x)-f(-x)]; 1 2 1 2 (2)试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数, 若f(x)-g(x)=( )x, 比 1 2 较 f(1)、g(0)、g(-2) 的大小. f(1)g(0)g(-2) 偶函数 奇函数 y= (2x-2-x)+ (2x+2-x) 1 2 1 2 g(x)=- (2-x+2x). 1 2 f(x)= (2-x-2x), 1 2 一、偶函数对称性的推广　 证明用解析法　 二、奇函数对称性的推广　 三、函数的周期性 如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小正周期. 　　若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f(?x)(??0) 也为周期函数, 且最小正周期为 . |?| T 证: 由已知, f(x)=f(2a-x), 且 f(x)+f(2m-x)=2n, 　 ∴ f[4(a-m)+x]=f[2a-(4m-2a-x)] =f(4m-2a-x)=f[2m-(2a+x-2m)] =2n-f(2m-x)=2n-[2n-f(x)]=f(x). ∴f(x) 是以 4(a-m) 为周期的周期函数. =2n-f(2a+x-2m)=2n-f[2a-(2m-x)] 例1.已知 f(x) 的图象关于直线 x=a 对称, 又关于点 (m, n) 对称, 其中 m?a. 求证 f(x) 是以