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圓內接矩形
小問題，大好玩 --- 圓內接矩形
990828 bee初稿 常見一個問題：圓內接矩形的最大面積為何？
想當然爾，正方形也！真的嗎？
如圖1，設半徑為的圓內接矩形的長為，寬為。 因為矩形的對角線就恰好是直徑，所以 。
利用算幾不等式可得：。
故矩形面積。在算幾不等式中，只有當時，不等式的等號才會成立，也就是當時，面積有最大值。
圖 2
圓內接矩形的最大為何？ 如果運用算的，也就是假借代數的方法，那麼，當
時，或何時有最大值呢？
因為，又，所以當亦有最大值，故有最大周長的還是正方形。
但是，不開心，因為沒有看到最大周長
圖 3
圖3中紅線長於藍線嗎？
圖 4詭異至極，連結射線， 圖4中著色的角是，換言之，短藍線被移至粉紅線，我們將藍線拉直了。 接下來在圖5中，我們再把紅線的一半拉到去，這樣紅線就看出來比藍線長了。
圖 5
圖 6 用算幾證明，簡單就得到分數，真是開心，但是總有看不到的感覺。若使用圖解，困難度高，卻頂有樂趣的。 想想看：面積一定的矩形，哪一種矩形的周長最小呢？為什麼？看得到嗎？
3
圖 1
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