以为周期的函数的展开式.docVIP

§2 以为周期的函数的展开式 教学目的与要求： 1. 理解并掌握以为周期的函数的傅里叶级数展开式. 2. 理解并掌握偶函数与奇函数的傅里叶级数展开式. 教学重点，难点： 1. 以为周期的函数的傅里叶级数展开式. 2. 偶函数与奇函数的傅里叶级数展开式 教学内容： 在上节提到的收敛定理中，假设函数是以为周期的，或是定义在上然后作以为周期延拓的函数。本节讨论以为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式。 一 以为周期的函数的傅里叶级数 设是以为周期的函数，通过变量置换 或 可以把变换成以为周期的的函数。若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是： ， （1） 其中 （2） 因为，所以。于是由（1）与（2）式分别得 （3） 与 （4） 这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶系数，（3）式是的傅里叶级数。 若函数在上按段光滑，则同样可由收敛定理知道 。 （5） 例1 把函数 展开成傅里叶级数。 解：由于在（－5,5）上按段光滑，因此可以展开成傅里叶级数。根据（4）式有 ， ， 代入（5）式，得 。 这里。当和时级数收敛于。 二 偶函数与奇函数的傅里叶级数 设是以为周期的偶函数，或是定义在上的偶函数，则在上，是偶函数，是奇函数。因此，的傅里叶系数（4）是 （6） 于是的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即 ， （7） 其中如（6）式所示。（7）式右边的级数称为余弦级数。 同理，若是以为周期的奇函数，或是定义在上的奇函数，则可推得 （8） 所以当为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即 ， （9） 其中如（8）式所示。（9）式右边的级数称为正弦级数。 若，则偶函数所展开成的余弦级数为 ， （10） 其中 。 （11） 当且为奇函数时，则它展开成的正弦级数为 ， （12） 其中 。 （13） 在实际应用中，有时需把定义在上（或一般地上）的函数展开成余弦级数或正弦级数。为此，先把定义在上的函数作偶式延拓或作奇式延拓到上（如图15－6（a）或（b））。然后求延拓后函数的傅里叶级数，即得（10）或（12）形式。但显然可见，对于定义在上的函数，将它展开成余弦级数或正弦级数时，可以不必作延拓而直接由（11）式或（13）式计算出它的傅里叶系数。 例2 设函数 ，， 求的傅里叶级数展开式。 解：是上的偶函数，图15－7是这函数及其周期延拓的图形。由于是按段光滑函数，因此，可以展开成傅里叶级数，而且这个级数为余弦级数。由（10）式（这时可把其中“~”改为“＝”）知 ， 其中 ， ， （） 因此 ，。 当时，有 。 由此可得 。 例3 把定义在上的函数 （其中）展开成正弦级数。 解：函数如图15－8所示，它是按段光滑函数，因而可以展开成正弦级数（12），其系数 。 所以 ，，。 当时，级数的和为0；当时，有 。 本题中若，则有 ，， 而且当时，时，级数收敛于0. 例4 把在内展开成： (i) 正弦级数； (ii) 余弦级数。 解：(