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函数极限题型与解题方法
函数极限题型与解题方法2011/11/3
毕原野 整理
一．极限的证明
1.趋近于无穷 P19 例8（1）
2.趋近于正无穷 P19 例8（2）
3.趋近于负无穷 P19 例8（3）（4）
4.趋近于某一定值 P21 例9（1）（2）（3）
极限的证明说白了就是找两个值，对于趋近于无穷的极限来说是ε和X，而对于趋近于某一定值的极限来说就是ε和δ。因此，证明过程中，无论哪种先得出ε，然后把x用ε表示出来（如果是趋近于某一定值的就是把|x-a|用ε表示出来），这样，就明确了X（δ），之后直接套格式就好了。
关键就在于表示过程，这需要一定的计算和技巧，比如放缩、变形等。由于ε的无限小，可以为其设定任何范围，以简化计算，但是要使原试有意义。
二．求极限
1.趋近于无穷（包括正负无穷）
（1）上下同除高次项 P22 例11（3）
（2）有理化 P25 例3（5）
（3）换元 P25 例13（2）
（4）应用 无穷小×有界 无穷小 P25 例13（3）（4）
2.趋近于某一定值
（1）应用法则直接带入 P22 例11（1）（2）
（2）有理化 P22 例11（4）
（3）等价无穷小定理 P28 例14（1）（2）（3）
（4）变形后应用重要极限 换元 P24 例12（1）（3） 倍角公式 P24 例12（2）
其他变形 P24 例12（4）
通分 P34 23.（9）（10）
3.分段函数
应用1.、2.的方法得出左右极限即可。
书写过程注意格式，写明左右极限。P21 例10 P35 29. 函数的极限求法可以类比数列的求法，只是要注意其方向和保证原式的有意义。
三．证明极限存在与否
首先确定是否能求出左右极限。不能，则无极限；能，则进一步看是否相等。不等，则无极限；等，则有极限。P35 30.（2）（3）
四．求参数
应用定理lim f（x）/g（x） c（c≠0），分子分母中任意一个为0，则另一个也为0。 P35 35.
通分整理，提出相消的项，令参数与同次项系数互为相反数即可。P35 34.
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