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函数的极限(数学分析)
第二讲 函数极限
定义：
1、；
2、；
3、；
4、；
5、；
6、；
7、；
8、；
9、；
10、；
11、；
12、。
13、。
14、
性质：
唯一性：若
局部有界性：若存在，则
局部保号性：若则
保不等式性：若与存在且，则
迫敛性：若，，则
四则运算法则：若，，则
（1）；（2）；（3）。
7、复合函数的极限：若，则。
极限存在条件：
归结原则（Heine定理）：
存在存在。
存在存在。
存在存在。
存在存在。
存在存在。
存在存在。
Cauchy准则：
存在就有；
存在就有；
存在就有；
存在就有；
存在就有；
存在就有。
单边极限的单调收敛原理：
若在上单调有界，则存在；且当在上单调增时；当在上单调减时
若在上单调有界，则存在；且当在上单调增时；当在上单调减时
若在上单调有界，则存在；单调增时；单调减时
若在上单调有界，则存在；单调增时；单调减时
4、上、下极限：
1）分别称为在的上极限与下极限；
2）称为在的振幅。
3）存在
重要极限与无穷小量及无穷大量：
1、；若，则。
2、；；若，则。
证明：1）
若由，有
(1)和(2)，在(1)中取，得，在(1)中取得。所以存在。令，，则单调增,单调减, 由单调有界收敛定理及归结原则得.由于，由迫敛性.又.
3、无穷小量：
1）；
2）；
3）；
4）；
5）在时与是同阶无穷小。
6）若则，；。
4、无穷大量：在时为无穷大量当且仅当在时为无穷小量。
例题研究：
设在内单调增且存在，，则。
设定义在上，且在每一个有限区间内有界，若，则。
证明：1）A=0：，
2）令
设在点右导，，求极限.（北大01）
解:令,则.
.
求极限：
（武大03）
求。（浙大01）
（武大04）
求极限.（北大00）
解：
叙述定义；当时，不以A为极限. （北大00）
当时，与为等价无穷大量. （华东师大01）
求极限
解 原式
.(浙师大05)
求.（华东师大00）
求.（浙大01）
求.(东南大学99)
求.(同济00)
求.(同济98)
求.(复旦97)
求极限.(复旦98)
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